Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Прасолов В.В., Задачи по планиметрии >> глава 18. Поворот >> параграф 2. Поворот на 60 градусов
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 23 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Впишите в данный остроугольный треугольник ABC квадрат KLMN так, чтобы вершины K и N лежали на сторонах AB и AC, а вершины L и M — на стороне BC.

Вниз   Решение

а) Для данного треугольника ABC, все углы которого меньше  120o, найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна.
б) Внутри треугольника ABC, все углы которого меньше  120o, взята точка O, из которой его стороны видны под углом  120o. Докажите, что сумма расстояний от точки O до вершин равна (a2 + b2 + c2)/2 + 2$ \sqrt{3}$S.

ВверхВниз   Решение

Автор: Васильев Н.Б.

Если на каждой грани выпуклого многогранника выбрать по точке и провести из этой точки направленный перпендикулярно соответствующей грани во внешнюю сторону вектор, длина которого равна площади этой грани, то сумма всех таких векторов окажется равна нулю. Докажите это.

ВверхВниз   Решение

У натурального числа A ровно 100 различных делителей (включая 1 и A). Найдите их произведение.

ВверхВниз   Решение

На дуге BC окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC, взята произвольная точка P. Отрезки AP и BC пересекаются в точке Q. Докажите, что  1/PQ = 1/PB + 1/PC.

ВверхВниз   Решение

Автор: Антропов А.

В ребусе $\text{ТУР}+\text{ТУР}+\text{ТУР}+...+\text{ТУР}=\text{ТУРЛОМ}$ одинаковые буквы заменяют одинаковые цифры, разные буквы заменяют разные цифры. Часть одинаковых слагаемых мы заменили многоточием. Сколько всего может быть ТУРов, чтобы ребус имел решение? Найдите наименьшее и наибольшее количества.

ВверхВниз   Решение

Прямые AP, BP и CP пересекают описанную окружность треугольника ABC в точках A2, B2 и C2; A1B1C1 — подерный треугольник точки P относительно треугольника ABC (см. задачу 5.99). Докажите, что  $ \triangle$A1B1C1 $ \sim$ $ \triangle$A2B2C2.

ВверхВниз   Решение

На сторонах треугольника ABC внешним образом построены правильные треугольники ABC1, AB1C и A1BC. Пусть P и Q — середины отрезков A1B1 и A1C1. Докажите, что треугольник APQ правильный.

ВверхВниз   Решение

В треугольник  Ta = $ \triangle$A1A2A3 вписан треугольник  Tb = $ \triangle$B1B2B3, а в треугольник Tb вписан треугольник  Tc = $ \triangle$C1C2C3, причем стороны треугольников Ta и Tc параллельны. Выразите площадь треугольника Tb через площади треугольников Ta и Tc.

ВверхВниз   Решение

На окружности взяты точки A, B, C и D. Прямые AB и CD пересекаются в точке M. Докажите, что  AC . AD/AM = BC . BD/BM.

ВверхВниз   Решение

При каких значениях параметра a многочлен  P(x) = xn + axn–2  (n ≥ 2)  делится на  x – 2 ?

ВверхВниз   Решение

Можно ли разменять 25 рублей при помощи десяти купюр достоинством в 1, 3 и 5 рублей?

ВверхВниз   Решение

Известно, что в выпуклом n-угольнике  (n > 3)  никакие три диагонали не проходят через одну точку.
Найдите число точек (отличных от вершины) пересечения пар диагоналей.

ВверхВниз   Решение

Правильные треугольники ABC, CDE, EHK (вершины обходятся в направлении против часовой стрелки) расположены на плоскости так, что $ \overrightarrow{AD}$ = $ \overrightarrow{DK}$. Докажите, что треугольник BHD тоже правильный.

ВверхВниз   Решение

На сторонах AB и AC треугольника ABC внешним образом построены правильные треугольники ABC' и AB'C. Точка M делит сторону BC в отношении BM : MC = 3 : 1; K и L — середины сторон AC' и B'C. Докажите, что углы треугольника KLM равны  30o, 60o и  90o.

ВверхВниз   Решение

Автор: Евдокимов М.А.

Правильный треугольник сложен из одинаковых прямоугольных (красных) и одинаковых равнобедренных (зелёных) треугольников так, как показано на рисунке. Чему равна площадь правильного треугольника, если площадь зелёного треугольника равна 1? При необходимости округлите ответ до двух знаков после запятой.

ВверхВниз   Решение

Известно, что     где  x > 0,  y > 0,  z > 0.  Докажите, что  

ВверхВниз   Решение

Известно, что а, b и c – различные составные натуральные числа, но каждое из них не делится ни на одно из целых чисел от 2 до 100 включительно. Докажите, что если эти числа – наименьшие из возможных, то их произведение abc является кубом натурального числа.

ВверхВниз   Решение

Вася сложил четвёртую степень и квадрат некоторого числа, отличного от нуля, и сообщил результат Пете.
Сможет ли Петя однозначно определить Васино число?

ВверхВниз   Решение

Дан треугольник ABC. Требуется разрезать его на наименьшее число частей так, чтобы, перевернув эти части на другую сторону, из них можно было сложить тот же треугольник ABC.

ВверхВниз   Решение

Найти целое число a, при котором  (x – a)(x – 10) + 1  разлагается в произведение  (x + b)(x + c)  двух множителей с целыми b и c.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что  4S = (a2 - (b - c)2)ctg($ \alpha$/2).

ВверхВниз   Решение

Даны точка X и правильный треугольник ABC. Докажите, что из отрезков XA, XB и XC можно составить треугольник, причем этот треугольник вырожденный тогда и только тогда, когда точка X лежит на описанной окружности треугольника ABC (Помпею).

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 17]      

  с решениями  

Задача 57937

Тема:   [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
Сложность: 4
Классы: 9

На сторонах треугольника ABC внешним образом построены правильные треугольники ABC1, AB1C и A1BC. Пусть P и Q — середины отрезков A1B1 и A1C1. Докажите, что треугольник APQ правильный.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57938

Тема:   [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
Сложность: 4
Классы: 9

На сторонах AB и AC треугольника ABC внешним образом построены правильные треугольники ABC' и AB'C. Точка M делит сторону BC в отношении BM : MC = 3 : 1; K и L — середины сторон AC' и B'C. Докажите, что углы треугольника KLM равны  30o, 60o и  90o.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57939

Тема:   [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
Сложность: 4
Классы: 9

Правильные треугольники ABC, CDE, EHK (вершины обходятся в направлении против часовой стрелки) расположены на плоскости так, что $ \overrightarrow{AD}$ = $ \overrightarrow{DK}$. Докажите, что треугольник BHD тоже правильный.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57940

Тема:   [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
Сложность: 4+
Классы: 9

а) Для данного треугольника ABC, все углы которого меньше  120o, найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна.
б) Внутри треугольника ABC, все углы которого меньше  120o, взята точка O, из которой его стороны видны под углом  120o. Докажите, что сумма расстояний от точки O до вершин равна (a2 + b2 + c2)/2 + 2$ \sqrt{3}$S.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57941

 [Теорема Помпею]
Тема:   [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
Сложность: 6
Классы: 9

Даны точка X и правильный треугольник ABC. Докажите, что из отрезков XA, XB и XC можно составить треугольник, причем этот треугольник вырожденный тогда и только тогда, когда точка X лежит на описанной окружности треугольника ABC (Помпею).
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 17]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .