Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
>>
глава 19. Гомотетия и поворотная гомотетия
>>
параграф 1. Гомотетичные многоугольники
Фильтр
Выбрано 9 задач Убрать все задачи
В остроугольном треугольнике $ABC$ $CM$ – медиана, $P$ – проекция ортоцентра $H$ на биссектрису угла $C$. Докажите, что $MP$ делит отрезок $CH$ пополам.
Среди всех многоугольников, вписанных в данную окружность, найдите тот,
у которого максимальна сумма квадратов длин сторон.
На отрезке AC взята точка B и на отрезках AB,
BC, CA построены полуокружности S1, S2, S3 по одну сторону
от AC. D — такая точка на S3, что
BD AC. Общая
касательная к S1 и S2, касается этих полуокружностей в точках
F и E соответственно.
а) Докажите, что прямая EF параллельна касательной
к S3, проведенной через точку D.
б) Докажите, что BFDE — прямоугольник.
На шахматной доске 8×8 отмечены центры всех полей. Можно ли тринадцатью прямыми, не проходящими через эти центры, разбить доску на части так, чтобы внутри каждой из них лежало не более одной отмеченной точки?
На плоскости дано 25 точек, причем среди любых
трех из них найдутся две на расстоянии меньше 1. Докажите,
что существует круг радиуса 1, содержащий не меньше 13 из этих точек.
Постройте четырехугольник ABCD, в который можно
вписать окружность, зная длины двух соседних сторон AB
и AD и углы при вершинах B и D.
По кругу стоят мальчики и девочки (есть и те, и другие), всего 20 детей. Известно, что у каждого мальчика сосед по часовой стрелке – ребёнок в синей футболке, а у каждой девочки сосед против часовой стрелки – ребёнок в красной футболке. Можно ли однозначно установить, сколько в круге мальчиков?
В треугольнике ABC высота AM не меньше BC, а
высота BH не меньше AC. Найдите углы треугольника ABC.
Окружность S касается равных сторон AB и BC
равнобедренного треугольника ABC в точках P и K, а также
касается внутренним образом описанной окружности треугольника ABC.
Докажите, что середина отрезка PK является
центром вписанной окружности треугольника ABC.
Задачи Страница: 1 2 >> [Всего задач: 9]
Задача 57981 |
|
|
В трапеции точка пересечения диагоналей равноудалена от прямых, на
которых лежат боковые стороны. Докажите, что трапеция равнобедренная.
|
|
Решение |
Задача 57982 |
|
|
Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC
пересекаются в точке M; P — произвольная точка. Прямая la
проходит через точку A параллельно прямой PA1; прямые lb
и lc определяются аналогично. Докажите, что:
а) прямые la, lb и lc пересекаются в одной точке Q;
б) точка M лежит на отрезке PQ, причем PM : MQ = 1 : 2.
|
|
|
Решение |
Задача 55764 |
|
|
Четырёхугольник разрезан диагоналями на четыре треугольника. Докажите, что точки пересечения медиан этих треугольников образуют параллелограмм.
|
|
|
Решение |
Задача 53749[Замечательное свойство трапеции] |
|
|
Докажите, что точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции, середины оснований и точка пересечения диагоналей лежат на одной прямой.
|
|
|
Решение |
Задача 57983 |
|
|
Окружность S касается равных сторон AB и BC
равнобедренного треугольника ABC в точках P и K, а также
касается внутренним образом описанной окружности треугольника ABC.
Докажите, что середина отрезка PK является
центром вписанной окружности треугольника ABC.
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 9]
