Каталог по источникам

Выбрано 12 задач

Разность двух целых чисел умножили на их произведение. Могло ли получиться число 1999?

Докажите, что

$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a+b}{c}=\cos\frac{\alpha -\beta }{2} }\right.$ $\displaystyle {\frac{a+b}{c}}$ = cos $\displaystyle {\frac{\alpha -\beta }{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a+b}{c}=\cos\frac{\alpha -\beta }{2} }\right/$ sin $\displaystyle {\frac{\gamma }{2}}$ , и $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a-b}{c}= \sin\frac{\alpha -\beta }{2}}\right.$ $\displaystyle {\frac{a-b}{c}}$ = sin $\displaystyle {\frac{\alpha -\beta }{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a-b}{c}= \sin\frac{\alpha -\beta }{2}}\right/$ cos $\displaystyle {\frac{\gamma }{2}}$ .

Решение

В параллелограмме ABCD диагональ AC больше диагонали BD; M — такая точка диагонали AC, что четырехугольник BCDM вписанный. Докажите, что прямая BD является общей касательной к описанным окружностям треугольников ABM и ADM.

Решение

На прямой l даны точки A, B, C и D. Через точки A и B, а также через точки C и D проводятся параллельные прямые.
Докажите, что диагонали полученных таким образом параллелограммов (или их продолжения) пересекают прямую l в двух фиксированных точках.

Решение

На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD построены внешним образом правильные треугольники BCP и CDQ. Докажите, что треугольник APQ правильный.

Решение

Дана таблица 3×3 (как для игры в крестики-нолики). В четыре случайно выбранные ячейки случайным образом поставили четыре фишки.
Найдите вероятность того, что среди этих четырёх фишек найдутся три, которые стоят в один ряд по вертикали, по горизонтали или по диагонали.

Решение

Авторы: Закорко П., Антропов А.

а) У Полины есть волшебная шоколадка в форме клетчатой лесенки со стороной 10 (см. рисунок), в каждой дольке своя начинка. Каждую минуту Полина отламывает верхний ряд долек шоколадки, поворачивает его на 90 градусов против часовой стрелки и приставляет её к оставшейся части в виде столбца слева, как показано на рисунке (после этого столбец слипается с другой частью, и снова получается цельная лесенка). Как только каждая долька вернётся на то же место, в котором она была изначально, Полина съест всю шоколадку. Через сколько минут это произойдёт?

Как только каждая долька вернётся на то же место, в котором она была изначально, Саша съест шоколадку. Через сколько минут это произойдёт?

б) У Саши есть такая же волшебная шоколадка. Он каждую минуту отламывает верхний ряд долек шоколадки, поворачивает его на 90 градусов по часовой стрелке и приставляет её к оставшейся части в виде столбца слева, как показано на рисунке.

Решение

На сторонах треугольника ABC внешним образом построены правильные треугольники A₁BC, AB₁C и ABC₁. Докажите, что AA₁ = BB₁ = CC₁.

Решение

Сколько осей симметрии может иметь семиугольник?

Решение

Постройте ромб, две стороны которого лежат на двух данных параллельных прямых, а две другие проходят через две данные точки.

Решение

Стороны треугольника T параллельны медианам треугольника T₁. Докажите, что медианы треугольника T параллельны сторонам треугольника T₁.

Решение

а) Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны AC в точке D, DM — ее диаметр. Прямая BM пересекает сторону AC в точке K. Докажите, что AK = DC.
б) В окружности проведены перпендикулярные диаметры AB и CD. Из точки M, лежащей вне окружности, проведены касательные к окружности, пересекающие прямую AB в точках E и H, а также прямые MC и MD, пересекающие прямую AB в точках F и K. Докажите, что EF = KH.

Решение

Задача 55767

Задача 57989

Задача 57990

Задача 57991

Задача 57992