Окружности , и  имеют одинаковые радиусы и касаются сторон углов A, B и C треугольника ABC соответственно. Окружность  касается внешним образом всех трех окружностей , и . Докажите, что центр окружности  лежит на прямой, проходящей через центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

На окружности фиксированы точки A и B, а точка C движется по этой окружности. Найдите геометрическое место точек пересечения медиан треугольников ABC.

Прислать комментарий

Решение

а) Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны AC в точке D, DM — ее диаметр. Прямая BM пересекает сторону AC в точке K. Докажите, что AK = DC.
б) В окружности проведены перпендикулярные диаметры AB и CD. Из точки M, лежащей вне окружности, проведены касательные к окружности, пересекающие прямую AB в точках E и H, а также прямые MC и MD, пересекающие прямую AB в точках F и K. Докажите, что EF = KH.

Прислать комментарий

Решение

Пусть O — центр вписанной окружности треугольника ABC, D — точка касания ее со стороной AC, B₁ — середина стороны AC. Докажите, что прямая B₁O делит отрезок BD пополам.

Прислать комментарий

Решение

Окружности , и  имеют одинаковые радиусы и касаются сторон углов A, B и C треугольника ABC соответственно. Окружность  касается внешним образом всех трех окружностей , и . Докажите, что центр окружности  лежит на прямой, проходящей через центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Дан треугольник ABC. Построены четыре окружности равного радиуса  так, что одна из них касается трех других, а каждая из этих трех касается двух сторон треугольника. Найдите , если радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника равны r и R соответственно.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]