К некоторому натуральному числу справа последовательно приписали два двузначных числа. Полученное число оказалось равным кубу суммы трёх исходных чисел. Найдите все возможные тройки исходных чисел.

   Решение

Окружности S₁,..., S_n проходят через точку O. Кузнечик из точки X_i окружности S_i прыгает в точку X_{i + 1} окружности S_{i + 1} так, что прямая X_iX_{i + 1} проходит через точку пересечения окружностей S_i и S_{i + 1}, отличную от точки O. Докажите, что после n прыжков (с окружности S₁ на S₂, с S₂ на  S₃,..., с S_n на S₁) кузнечик вернется в исходную точку.

   Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 15]      

Окружности S₁ и S₂ пересекаются в точках A и B. Прямые p и q, проходящие через точку A, пересекают окружность S₁ в точках P₁ и Q₁, а окружность S₂ — в точках P₂ и Q₂. Докажите, что угол между прямыми P₁Q₁ и P₂Q₂ равен углу между окружностями S₁ и S₂.

Прислать комментарий

Решение

Окружности S₁ и S₂ пересекаются в точках A и B. При поворотной гомотетии P с центром A, переводящей S₁ в S₂, точка M₁ окружности S₁ переходит в M₂. Докажите, что прямая M₁M₂ проходит через точку B.

Прислать комментарий

Решение

Окружности S₁,..., S_n проходят через точку O. Кузнечик из точки X_i окружности S_i прыгает в точку X_{i + 1} окружности S_{i + 1} так, что прямая X_iX_{i + 1} проходит через точку пересечения окружностей S_i и S_{i + 1}, отличную от точки O. Докажите, что после n прыжков (с окружности S₁ на S₂, с S₂ на  S₃,..., с S_n на S₁) кузнечик вернется в исходную точку.

Прислать комментарий

Решение

Две окружности пересекаются в точках A и B, а хорды AM и AN касаются этих окружностей. Треугольник MAN достроен до параллелограмма MANC и отрезки BN и MC разделены точками P и Q в равных отношениях. Докажите, что APQ = ANC.

Прислать комментарий

Решение

Дан квадрат ABCD. Точки P и Q лежат соответственно на сторонах AB и BC, причем BP = BQ. Пусть H — основание перпендикуляра, опущенного из точки B на отрезок PC. Докажите, что DHQ = 90^o.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 15]