ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
![]()
Параграфы:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Версия для печати
Убрать все задачи На прямоугольном листе бумаги нарисован круг, внутри которого Миша мысленно выбирает n точек, а Коля пытается их разгадать. За одну попытку Коля указывает на листе (внутри или вне круга) одну точку, а Миша сообщает Коле расстояние от нее до ближайшей неразгаданной точки. Если оно оказывается нулевым, то после этого указанная точка считается разгаданной. Коля умеет отмечать на листе точки, откладывать расстояния и производить построения циркулем и линейкой. Может ли Коля наверняка разгадать все выбранные точки менее, чем за (n+1)2 попыток? Пусть K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD
и DA выпуклого четырехугольника ABCD.
Три велосипедиста ездят по кольцевой дороге радиуса 1 км против часовой стрелки с постоянными различными скоростями. Пусть O – одна из точек пересечения окружностей ω1 и ω2. Окружность ω с центром O пересекает ω1 в точках A и B, а ω2 – в точках C и D. Пусть X – точка пересечения прямых AC и BD. Докажите, что все такие точки X лежат на одной прямой. Выпуклый n-угольник разрезан на треугольники непересекающимися
диагоналями. Рассмотрим преобразование такого разбиения, при
котором треугольники ABC и ACD заменяются на треугольники
ABD и BCD. Пусть P(n) — наименьшее число преобразований,
за которое любое разбиение можно перевести в любое другое.
Докажите, что: а)
P(n) |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 50]
Назовем выпуклый семиугольник особым, если три
его диагонали пересекаются в одной точке. Докажите, что,
слегка пошевелив одну из вершин особого семиугольника,
можно получить неособый семиугольник.
Выпуклый многоугольник
A1...An лежит внутри окружности S1, а выпуклый
многоугольник
B1...Bm — внутри S2. Докажите, что если эти
многоугольники пересекаются, то одна из точек A1, ..., An лежит внутри
S2 или одна из точек B1, ..., Bm лежит внутри S1.
Докажите, что существует такое число N, что среди
любых N точек, никакие три из которых не лежат на одной
прямой, можно выбрать 100 точек, являющихся вершинами
выпуклого многоугольника.
Выпуклый n-угольник разрезан на треугольники непересекающимися
диагоналями. Рассмотрим преобразование такого разбиения, при
котором треугольники ABC и ACD заменяются на треугольники
ABD и BCD. Пусть P(n) — наименьшее число преобразований,
за которое любое разбиение можно перевести в любое другое.
Докажите, что: а)
P(n)
Докажите, что в любом выпуклом многоугольнике,
кроме параллелограмма, можно выбрать три стороны, при
продолжении которых образуется треугольник, объемлющий
данный многоугольник.
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 50]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке