Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 5 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

На прямоугольном листе бумаги нарисован круг, внутри которого Миша мысленно выбирает n точек, а Коля пытается их разгадать. За одну попытку Коля указывает на листе (внутри или вне круга) одну точку, а Миша сообщает Коле расстояние от нее до ближайшей неразгаданной точки. Если оно оказывается нулевым, то после этого указанная точка считается разгаданной. Коля умеет отмечать на листе точки, откладывать расстояния и производить построения циркулем и линейкой. Может ли Коля наверняка разгадать все выбранные точки менее, чем за (n+1)2 попыток?

Вниз   Решение


Пусть K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и DA выпуклого четырехугольника ABCD.
а) Докажите, что KM$ \le$(BC + AD)/2, причем равенство достигается, только если BC| AD.
б) При фиксированных длинах сторон четырехугольника ABCD найдите максимальные значения длин отрезков KM и LN.

ВверхВниз   Решение


Три велосипедиста ездят по кольцевой дороге радиуса 1 км против часовой стрелки с постоянными различными скоростями.
Верно ли, что, если они будут кататься достаточно долго, то найдётся момент, когда расстояние между каждыми двумя из них будет больше 1 км?

ВверхВниз   Решение


Пусть O – одна из точек пересечения окружностей ω1 и ω2. Окружность ω с центром O пересекает ω1 в точках A и B, а ω2 – в точках C и D. Пусть X – точка пересечения прямых AC и BD. Докажите, что все такие точки X лежат на одной прямой.

ВверхВниз   Решение


Выпуклый n-угольник разрезан на треугольники непересекающимися диагоналями. Рассмотрим преобразование такого разбиения, при котором треугольники ABC и ACD заменяются на треугольники ABD и BCD. Пусть P(n) — наименьшее число преобразований, за которое любое разбиение можно перевести в любое другое. Докажите, что: а) P(n)$ \ge$n - 3; б) P(n)$ \le$2n - 7; в) P(n)$ \le$2n - 10 при n$ \ge$13.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 50]      



Задача 58115  (#22.005)

Темы:   [ Выпуклые многоугольники ]
[ Малые шевеления ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Назовем выпуклый семиугольник особым, если три его диагонали пересекаются в одной точке. Докажите, что, слегка пошевелив одну из вершин особого семиугольника, можно получить неособый семиугольник.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58116  (#22.005B)

Тема:   [ Выпуклые многоугольники ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9

Выпуклый многоугольник A1...An лежит внутри окружности S1, а выпуклый многоугольник B1...Bm — внутри S2. Докажите, что если эти многоугольники пересекаются, то одна из точек A1, ..., An лежит внутри S2 или одна из точек B1, ..., Bm лежит внутри S1.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58117  (#22.007)

Тема:   [ Выпуклые многоугольники ]
Сложность: 7
Классы: 8,9

Докажите, что существует такое число N, что среди любых N точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, можно выбрать 100 точек, являющихся вершинами выпуклого многоугольника.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58118  (#22.007.1)

Тема:   [ Выпуклые многоугольники ]
Сложность: 7
Классы: 8,9

Выпуклый n-угольник разрезан на треугольники непересекающимися диагоналями. Рассмотрим преобразование такого разбиения, при котором треугольники ABC и ACD заменяются на треугольники ABD и BCD. Пусть P(n) — наименьшее число преобразований, за которое любое разбиение можно перевести в любое другое. Докажите, что: а) P(n)$ \ge$n - 3; б) P(n)$ \le$2n - 7; в) P(n)$ \le$2n - 10 при n$ \ge$13.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58119  (#22.008)

Тема:   [ Выпуклые многоугольники ]
Сложность: 6
Классы: 8,9

Докажите, что в любом выпуклом многоугольнике, кроме параллелограмма, можно выбрать три стороны, при продолжении которых образуется треугольник, объемлющий данный многоугольник.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 50]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .