Версия для печати
Убрать все задачи

---

Найдите объём правильной треугольной пирамиды со стороной основания a и боковым ребром b .

   Решение

---

Даны сто чисел x₁, x₂,..., x₁₀₀, сумма которых равна 1. При этом абсолютные величины разностей  x_k+1 – x_k  меньше ¹/₅₀ каждая.
Доказать, что из них можно выбрать 50 чисел так, чтобы сумма выбранных отличалась от половины не больше, чем на одну сотую.

   Решение

---

Известно, что  z + z^–1 = 2 cos α.
  а) Докажите, что  zⁿ + z^–n = 2 cos nα.
  б) Как выражается  zⁿ + z^–n  через  y = z + z^–1?

   Решение

---

В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены дорогами. При этом из каждого города выходит хотя бы три дороги.
Докажите, что существует циклический маршрут, длина которого не делится на 3.

   Решение

---

Петя увидел на доске несколько различных чисел и решил составить выражение, среди значений которого все эти числа есть, а других нет. Составляя выражение, Петя может использовать какие угодно числа, особый знак "±", а также обычные знаки "+", "–", "×" и скобки. Значения составленного выражения он вычисляет, выбирая для каждого знака "±" либо "+", либо "–" во всех возможных комбинациях. Например, если на доске были числа 4 и 6, подойдёт выражение  5 ± 1,  а если на доске были числа 1, 2 и 3, то подойдёт выражение  (2 ± 0,5) ± 0,5.  Возможно ли составить необходимое выражение, если на доске были написаны
  а) числа 1, 2, 4;
  б) любые 100 различных действительных чисел?

   Решение

---

Докажите, что если многоугольник таков, что из некоторой точки O виден весь его контур, то из любой точки плоскости полностью видна хотя бы одна его сторона.

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 50]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 58145  (#22.015)

Тема:   [ Теорема Хелли ]

Сложность: 6+ Классы: 9,10

Дано несколько параллельных отрезков, причем для любых трех из них найдется прямая, их пересекающая. Докажите, что найдется прямая, пересекающая все отрезки.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58146  (#22.016)

Тема:   [ Невыпуклые многоугольники ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Верно ли, что любой пятиугольник лежит по одну сторону от не менее чем двух своих сторон?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58147  (#22.017)

Тема:   [ Невыпуклые многоугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9,10

а) Нарисуйте многоугольник и точку O внутри его так, чтобы ни одна сторона не была видна из нее полностью.
б) Нарисуйте многоугольник и точку O вне его так, чтобы ни одна сторона не была видна из нее полностью.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58148  (#22.018)

Тема:   [ Невыпуклые многоугольники ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Докажите, что если многоугольник таков, что из некоторой точки O виден весь его контур, то из любой точки плоскости полностью видна хотя бы одна его сторона.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58149  (#22.019)

Тема:   [ Невыпуклые многоугольники ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Докажите, что сумма внешних углов любого многоугольника, прилегающих к меньшим 180^o внутренним углам, не меньше 360^o.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 50]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями