а) Пусть точки A, B, C, D, E и F лежат на одной конике. Докажите, что тогда прямые Паскаля шестиугольников ABCDEF, ADEBCF и ADCFEB пересекаются в одной точке (Штейнер).
б) Пусть точки A, B, C, D, E и F лежат на одной окружности. Докажите, что тогда прямые Паскаля шестиугольников ABFDCE, AEFBDC и ABDFEC пересекаются в одной точке (Киркман).

   Решение

Докажите, что abc = 4prR и  ab + bc + ca = r² + p² + 4rR.

   Решение

Внутри выпуклого четырехугольника ABCD построены равнобедренные прямоугольные треугольники ABO₁, BCO₂, CDO₃ и DAO₄. Докажите, что если O₁ = O₃, то O₂ = O₄.

   Решение

Плоскость раскрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 1.

   Решение

Найдите высоту трапеции, у которой основания равны a и b (a < b), угол между диагоналями равен 90^o, а угол между продолжениями боковых сторон равен 45^o.

   Решение

Плоскость раскрашена в семь цветов. Обязательно ли найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 1?

   Решение

Докажите, что для любого n существует окружность, внутри которой лежит ровно n целочисленных точек.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 3]      

На бесконечном листе клетчатой бумаги N клеток окрашено в черный цвет. Докажите, что из этого листа можно вырезать конечное число квадратов так, что будут выполняться два условия: 1) все черные клетки лежат в вырезанных квадратах; 2) в любом вырезанном квадрате K площадь черных клеток составит не менее  1/5 и не более  4/5 площади K.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что для любого n существует окружность, внутри которой лежит ровно n целочисленных точек.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что для любого n существует окружность, на которой лежит ровно n целочисленных точек.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 3]