Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Прасолов В.В., Задачи по планиметрии >> глава 29. Аффинные преобразования
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 21 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Акопян Э.

Петя утверждает, что он сумел согнуть бумажный равносторонний треугольник так, что получился четырёхугольник, причём всюду трёхслойный.
Как это могло получиться?

Вниз   Решение

Авторы: Крутовский Р., Фролов И.И.

Дан треугольник ABC и прямая l, пересекающая прямые BC, AC, AB в точках La, Lb, Lc. Перпендикуляр, восставленный из точки La к BC, пересекает AB и AC в точках Ab и Ac соответственно. Точка Oa – центр описанной окружности треугольника AAbAc. Аналогично определим Ob и Oc. Докажите, что Oa, Ob и Oc лежат на одной прямой.

ВверхВниз   Решение

Даны окружность S и точки A и B вне ее. Для каждой прямой l, проходящей через точку A и пересекающей окружность S в точках M и N, рассмотрим описанную окружность треугольника BMN. Докажите, что все эти окружности имеют общую точку, отличную от точки B.

ВверхВниз   Решение

Докажите неравенство  ( + )8 ≥ 64xy(x + y)²   (x, y ≥ 0).

ВверхВниз   Решение

Автор: Новиков И.Д.

Дан неравнобедренный остроугольный треугольник ABC, BB1 – его симедиана, луч BB1 вторично пересекает описанную окружность Ω в точке L. Пусть HA, HB, HC – основания высот треугольника ABC, а луч BHB вторично пересекает Ω в точке T. Докажите, что точки HA, HC, T, L лежат на одной окружности.

ВверхВниз   Решение

Автор: Хилько Д.

На стороне BC треугольника ABC взята произвольная точка D. Через D и A проведены окружности ω1 и ω2 так, что прямая BA касается ω1, прямая CA касается ω2. BX – вторая касательная, проведённая из точки B к окружности ω1, CY – вторая касательная, проведённая из точки C к окружности ω2. Докажите, что описанная окружность треугольника XDY касается прямой BC.

ВверхВниз   Решение

Автор: Доледенок А.В.

BB1 и CC1 – высоты треугольника ABC. Касательные к описанной окружности треугольника AB1C1 в точках B1 и C1 пересекают прямые AB и AC в точках M и N соответственно. Докажите, что вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников AMN и AB1C1 лежит на прямой Эйлера треугольника ABC.

ВверхВниз   Решение

Сколько существует двузначных чисел, у которых цифра десятков больше цифры единиц?

ВверхВниз   Решение

Автор: Прокопенко Д.

Вписанная окружность ω треугольника ABC касается сторон BC, AC и AB в точках A0, B0 и C0 соответственно. Биссектрисы углов B и C пересекают серединный перпендикуляр к отрезку AA0 в точках Q и P соответственно. Докажите, что прямые PC0 и QB0 пересекаются на окружности ω.

ВверхВниз   Решение

Автор: Москвитин Н.А.

Вокруг прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C описана окружность, на меньших дугах AC и BC взяты их середины – K и P соответственно. Отрезок KP пересекает катет AC в точке N. Центр вписанной окружности треугольника ABC – I. Найти угол NIC.

ВверхВниз   Решение

Встречается ли в треугольнике Паскаля число 1999?

ВверхВниз   Решение

Двое лыжников шли с постоянной скоростью 6 км/ч на расстоянии 200 метров друг от друга. Потом они стали подниматься в большую горку, и скорость упала до 4 км/ч. Потом оба лыжника съехали с горки со скоростью 7 км/ч и попали в глубокий снег, где их скорость стала всего 3 км/ч.
Каким стало расстояние между ними?

ВверхВниз   Решение

Во сколько раз сумма чисел, стоящих в сто первой строке треугольника Паскаля, больше суммы чисел, стоящих в сотой строке?

ВверхВниз   Решение

Дан параллелограмм ABCD. Вневписанная окружность треугольника ABD касается продолжений сторон AD и AB в точках M и N. Докажите, что точки пересечения отрезка MN с BC и CD лежат на вписанной окружности треугольника BCD.

ВверхВниз   Решение

Через точку P, лежащую на общей хорде AB двух пересекающихся окружностей, проведены хорда KM первой окружности и хорда LN второй окружности. Докажите, что четырехугольник KLMN вписанный.

ВверхВниз   Решение

Проставим знаки плюс и минус в 99-й строке треугольника Паскаля. Между первым и вторым числом – минус, между вторым и третьим – плюс, между третьим и четвёртым – минус, потом опять плюс, и так далее. Найдите значение полученного выражения.

ВверхВниз   Решение

В корзине лежат 30 рыжиков и груздей. Среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов имеется хотя бы один груздь. Сколько рыжиков и сколько груздей в корзине?

ВверхВниз   Решение

Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена касательная AQ к окружности S1 (точка Q лежит на S2), а через точку B -- касательная BS к окружности S2 (точка S лежит на S1). Прямые BQ и AS пересекают окружности S1 и S2 в точках R и P. Докажите, что PQRS — параллелограмм.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что в плоском графе есть вершина, степень которой не превосходит 5.

ВверхВниз   Решение

Можно ли построить три дома, вырыть три колодца и соединить тропинками каждый дом с каждым колодцем так, чтобы тропинки не пересекались?

ВверхВниз   Решение

Пусть L — взаимно однозначное отображение плоскости в себя. Предположим, что оно обладает следующим свойством: если три точки лежат на одной прямой, то их образы тоже лежат на одной прямой. Докажите, что тогда L — аффинное преобразование.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 49]      

  с решениями  

Задача 58375  (#29.013B2)

Тема:   [ Аффинные преобразования и их свойства ]
Сложность: 6
Классы: 8,9

На плоскости даны три вектора a, b, c, причем $ \alpha$a + $ \beta$b + $ \gamma$c = 0. Докажите, что эти векторы аффинным преобразованием можно перевести в векторы равной длины тогда и только тогда, когда из отрезков с длинами |$ \alpha$|, |$ \beta$|, |$ \gamma$| можно составить треугольник.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58376  (#29.013B3)

Тема:   [ Аффинные преобразования и их свойства ]
Сложность: 6
Классы: 8,9

На плоскости даны две прямые, пересекающиеся под острым углом. В направлении одной из прямых производится сжатие с коэффициентом 1/2. Докажите, что найдется точка, расстояние от которой до точки пересечения прямых увеличится.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58377  (#29.013B4)

Тема:   [ Аффинные преобразования и их свойства ]
Сложность: 7+
Классы: 8,9

Пусть L — взаимно однозначное отображение плоскости в себя. Предположим, что оно обладает следующим свойством: если три точки лежат на одной прямой, то их образы тоже лежат на одной прямой. Докажите, что тогда L — аффинное преобразование.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58378  (#29.013B5)

Тема:   [ Аффинные преобразования и их свойства ]
Сложность: 7+
Классы: 8,9

Пусть L — взаимно однозначное отображение плоскости в себя, переводящее любую окружность в некоторую окружность. Докажите, что L — аффинное преобразование.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58379  (#29.012)

Тема:   [ Решение задач при помощи аффинных преобразований ]
Сложность: 3
Классы: 9,10

Через каждую вершину треугольника проведены две прямые, делящие противоположную сторону треугольника на три равные части. Докажите, что диагонали, соединяющие противоположные вершины шестиугольника, образованного этими прямыми, пересекаются в одной точке.
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 49]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .