Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 59]

Задача 58429 (#30.021)

Тема:

[

Проективные преобразования плоскости

]

Сложность: 7
Классы: 10,11

Даны две параллельные прямые a, b и точка O. Тогда для каждой точки M можно выполнить следующее построение. Проведем через M произвольную прямую l, не проходящую через O и пересекающую прямые a и b. Точки пересечения обозначим соответственно через A и B, и пусть M' — точка пересечения прямой OM с прямой, параллельной OB и проходящей через A.
а) Докажите, что точка M' не зависит от выбора прямой l.
б) Докажите, что преобразование плоскости, переводящее точку M в точку M', является проективным.

Прислать комментарий Решение

Задача 58430 (#30.022)

Тема:

[

Проективные преобразования плоскости

]

Сложность: 7
Классы: 10,11

Докажите, что преобразование координатной плоскости, которое каждую точку с координатами (x, y) отображает в точку с координатами $\left(\vphantom{\frac{1}{x},\frac{y}{x}}\right.$ ${\frac{1}{x}}$ , ${\frac{y}{x}}$ $\left.\vphantom{\frac{1}{x},\frac{y}{x}}\right)$ , является проективным.

Прислать комментарий Решение

Задача 58431 (#30.023)

Тема:

[

Проективные преобразования плоскости

]

Сложность: 7
Классы: 10,11

Пусть O — центр линзы, $\pi$ — некоторая плоскость, проходящая через ее оптическую ось a и f — прямые пересечения плоскости $\pi$ с плоскостью линзы и с фокальной плоскостью соответственно (a| f ). В школьном курсе физики показано, что если пренебречь толщиной линзы, то изображение M' точки M, лежащей в плоскости $\pi$ , строится следующим образом (рис.). Проведем через точку M произвольную прямую l; пусть A — точка пересечения прямых a и l, B — точка пересечения прямой f с прямой, проходящей через O параллельно l. Тогда M' есть точка пересечения прямых AB и OM. Докажите, что преобразование плоскости $\pi$ , сопоставляющее каждой точке ее изображение, является проективным.
Таким образом, через увеличительное стекло мы видим образ нашего мира при проективном преобразовании.

Прислать комментарий

Решение

Задача 58432 (#30.024)

Тема:

[

Переведем данную прямую на бесконечность

]

Сложность: 6
Классы: 10,11

Докажите, что геометрическое место точек пересечения диагоналей четырехугольников ABCD, у которых стороны AB и CD лежат на двух данных прямых l₁ и l₂, а стороны BC и AD пересекаются в данной точке P, является прямой, проходящей через точку Q пересечения прямых l₁ и l₂.

Прислать комментарий Решение

Задача 58433 (#30.025)

Тема:

[

Переведем данную прямую на бесконечность

]

Сложность: 6
Классы: 10,11

Пусть O — точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD, а E, F — точки пересечения продолжений сторон AB и CD, BC и AD соответственно. Прямая EO пересекает стороны AD и BC в точках K и L, а прямая FO пересекает стороны AB и CD в точках M и N. Докажите, что точка X пересечения прямых KN и LM лежит на прямой EF.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 59]