Версия для печати
Убрать все задачи

---

Доказать, что любое чётное число 2n 0 может быть единственным образом представлено в виде 2n = (x + y)² + 3x + y, где x и y — целые неотрицательные числа.

   Решение

---

  На шкуре у Носорога складки – вертикальные и горизонтальные. Если у Носорога на левом боку a вертикальных, b горизонтальных складок, а на правом – c вертикальных и d горизонтальных, будем говорить, что это Носорог в состоянии  (abcd)  или просто Носорог  (abcd).
  Если Носорог чешется каким-то боком о баобаб вверх-вниз, и у Носорога на этом боку есть две горизонтальные складки, то эти две горизонтальные складки разглаживаются. Если двух таких складок нет, то ничего не происходит.
  Аналогично если Носорог чешется боком вперед-назад, и на этом боку есть две вертикальные складки, то они разглаживаются, если же таких двух складок не найдётся, то ничего не происходит.
  Если на каком-то боку две какие-то складки разглаживаются, то на другом боку немедленно появляется две новые складки: одна вертикальная и одна горизонтальная.
  Носороги чешутся часто, случайным боком о случайные баобабы в случайных направлениях.

  Вначале в саванне было стадо Носорогов  (0221).  Докажите, что через некоторое время в саванне появится Носорог  (2021).

   Решение

---

Петя раскрасил каждую клетку квадрата 1000×1000 в один из 10 цветов. Также он придумал такой 10-клеточный многоугольник Ф, что при любом способе положить его по границам клеток на раскрашенный квадрат, все 10 накрытых им клеток будут разного цвета. Обязательно ли Ф – прямоугольник?

   Решение

---

Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Пусть P, Q — точки пересечения продолжений противоположных сторон AB и CD, AD и BC соответственно, R — произвольная точка внутри четырехугольника. Пусть K — точка пересечения прямых BC и PR, L — точка пересечения прямых AB и QR, M — точка пересечения прямых AK и DR. Докажите, что точки L, M и C лежат на одной прямой.

   Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 12]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 56907  [Теорема Дезарга]

Темы:   [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Переведем данную прямую на бесконечность ]

Сложность: 6 Классы: 9,10,11

Прямые  AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в одной точке O. Докажите, что точки пересечения прямых AB и A₁B₁, BC и B₁C₁, AC и A₁C₁ лежат на одной прямой (Дезарг).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58432

Тема:   [ Переведем данную прямую на бесконечность ]

Сложность: 6 Классы: 10,11

Докажите, что геометрическое место точек пересечения диагоналей четырехугольников ABCD, у которых стороны AB и CD лежат на двух данных прямых l₁ и l₂, а стороны BC и AD пересекаются в данной точке P, является прямой, проходящей через точку Q пересечения прямых l₁ и l₂.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58433

Тема:   [ Переведем данную прямую на бесконечность ]

Сложность: 6 Классы: 10,11

Пусть O — точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD, а E, F — точки пересечения продолжений сторон AB и CD, BC и AD соответственно. Прямая EO пересекает стороны AD и BC в точках K и L, а прямая FO пересекает стороны AB и CD в точках M и N. Докажите, что точка X пересечения прямых KN и LM лежит на прямой EF.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58435  [Теорема Паппа]

Тема:   [ Переведем данную прямую на бесконечность ]

Сложность: 6 Классы: 10,11

Точки A, B, C лежат на прямой l, а точки A₁, B₁, C₁ — на прямой l₁. Докажите, что точки пересечения прямых AB₁ и BA₁, BC₁ и CB₁, CA₁ и AC₁ лежат на одной прямой (Папп).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58436

Тема:   [ Переведем данную прямую на бесконечность ]

Сложность: 6 Классы: 10,11

Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Пусть P, Q — точки пересечения продолжений противоположных сторон AB и CD, AD и BC соответственно, R — произвольная точка внутри четырехугольника. Пусть K — точка пересечения прямых BC и PR, L — точка пересечения прямых AB и QR, M — точка пересечения прямых AK и DR. Докажите, что точки L, M и C лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 12]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями