Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
>>
глава 31. Эллипс, парабола, гипербола
>>
параграф 5. Пучки коник
Фильтр
Выбрано 10 задач Убрать все задачи
а) Пусть точки A, B, C, D, E и F лежат на одной конике. Докажите,
что тогда прямые Паскаля шестиугольников ABCDEF, ADEBCF и ADCFEB
пересекаются в одной точке (Штейнер).
б) Пусть точки A, B, C, D, E и F лежат на одной окружности.
Докажите, что тогда прямые Паскаля шестиугольников ABFDCE, AEFBDC и
ABDFEC пересекаются в одной точке (Киркман).
Докажите, что abc = 4prR и
ab + bc + ca = r2 + p2 + 4rR.
Внутри выпуклого четырехугольника ABCD построены равнобедренные
прямоугольные треугольники ABO1, BCO2, CDO3
и DAO4. Докажите, что если O1 = O3, то O2 = O4.
Плоскость раскрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 1.
Найдите высоту трапеции, у которой основания равны a и b (a < b), угол между диагоналями равен 90o, а угол между продолжениями боковых сторон равен 45o.
Плоскость раскрашена в семь цветов. Обязательно
ли найдутся две точки одного цвета, расстояние между
которыми равно 1?
Докажите, что для любого n существует окружность, внутри которой
лежит ровно n целочисленных точек.
Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника равна $\frac12 d_1 d_2\sin\varphi$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей, а $\varphi$ — угол между ними.
На плоскости взяты шесть точек A1, A2, B1, B2, C1, C2.
Докажите, что если окружности, описанные около треугольников A1B1C1,
A1B2C2, A2B1C2, A2B2C1,
проходят через одну точку, то и окружности, описанные около треугольников
A2B2C2, A2B1C1, A1B2C1, A1B1C2, проходят через
одну точку.
Пусть стороны самопересекающихся
четырехугольников KLMN и K'L'M'N', вписанных в одну и ту же окружность,
пересекают хорду AB этой окружности в точках P, Q, R, S и
P', Q', R', S'
соответственно (сторона KL — в точке P, LM — в точке Q,
и т. д.). Докажите, что если три из точек P, Q, R, S совпадают с
соответственными тремя из точек
P', Q', R', S', то и оставшиеся две точки тоже
совпадают. (Предполагается, что хорда AB не проходит через вершины
четырехугольников.)
Задачи Страница: 1 2 >> [Всего задач: 10]
Задача 58518 (#31.051) |
|
|
Пусть точки A, B, C и D лежат на конике, заданной уравнением второй степени f = 0. Докажите, что
|
|
Решение |
Задача 58519 (#31.052) |
|
|
Докажите, что если вершины шестиугольника ABCDEF лежат на одной конике, то
точки пересечения продолжений его противоположных сторон (т. е. прямых AB и
DE, BC и EF, CD и AF) лежат на одной прямой (Паскаль).
|
|
|
Решение |
Задача 58520 (#31.053) |
|
|
а) Пусть точки A, B, C, D, E и F лежат на одной конике. Докажите,
что тогда прямые Паскаля шестиугольников ABCDEF, ADEBCF и ADCFEB
пересекаются в одной точке (Штейнер).
б) Пусть точки A, B, C, D, E и F лежат на одной окружности.
Докажите, что тогда прямые Паскаля шестиугольников ABFDCE, AEFBDC и
ABDFEC пересекаются в одной точке (Киркман).
|
|
Решение |
Задача 58521 (#31.054) |
|
|
Пусть хорды KL и MN проходят через
середину O хорды AB. Докажите, что прямые KN и ML пересекают прямую
AB в точках, равноудаленных от точки O.
|
|
|
Решение |
Задача 58522 (#31.055) |
|
|
Пусть стороны самопересекающихся
четырехугольников KLMN и K'L'M'N', вписанных в одну и ту же окружность,
пересекают хорду AB этой окружности в точках P, Q, R, S и
P', Q', R', S'
соответственно (сторона KL — в точке P, LM — в точке Q,
и т. д.). Докажите, что если три из точек P, Q, R, S совпадают с
соответственными тремя из точек
P', Q', R', S', то и оставшиеся две точки тоже
совпадают. (Предполагается, что хорда AB не проходит через вершины
четырехугольников.)
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 10]
