Два бегуна стартовали одновременно из одной точки. Сначала они бежали по улице до стадиона, а потом до финиша – три круга по стадиону. Всю дистанцию оба бежали с постоянными скоростями, и в ходе забега первый бегун дважды обогнал второго. Докажите, что первый бежал по крайней мере вдвое быстрее, чем второй.

   Решение

Докажите, что  n⁵ + 4n  делится на 5 при любом натуральном n.

   Решение

Докажите, что центры коник, проходящих через точки A, B, C и D, образуют конику .

   Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 10]      

Докажите, что любая гипербола, проходящая через вершины треугольника ABC и точку пересечения его высот, является гиперболой с перпендикулярными асимптотами.

Прислать комментарий

Решение

Две коники имеют 4 общих точки. Докажите, что эти точки лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда оси коник перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что центры коник, проходящих через точки A, B, C и D, образуют конику .

Прислать комментарий

Решение

Докажите следующие свойства коники Г из задачи 31.058:
а) Г проходит через 6 середин отрезков, соединяющих пары данных точек, и через 3 точки пересечения прямых, соединяющих пары данных точек.
б) Центр Г совпадает с центром масс точек A, B, C и D.
в) Если D — точка пересечения высот треугольника ABC, то Г — окружность девяти точек этого треугольника.
д) Если четырехугольник ABCD вписанный, то Г — гипербола с перпендикулярными асимптотами. В этом случае оси всех коник пучка параллельны асимптотам Г.

Прислать комментарий

Решение

Пусть коники и касаются в точках A и B, a коники и касаются в точках C и D, причем и имеют четыре общие точки. Тогда у коник и есть пара общих хорд, проходящих через точку пересечения прямых AB и CD.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 10]