Каталог по источникам

Выбрано 10 задач

Пусть движение плоскости переводит фигуру F в фигуру F'. Для каждой пары соответственных точек A и A' рассмотрим середину X отрезка AA'. Докажите, что либо все точки X совпадают, либо все они лежат на одной прямой, либо образуют фигуру, подобную F.

Решение

Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность радиуса R, причем AB = CD = EF = R. Докажите, что середины сторон BC, DE и FA образуют правильный треугольник.

Решение

Правильные треугольники ABC, CDE, EHK (вершины обходятся в направлении против часовой стрелки) расположены на плоскости так, что $\overrightarrow{AD}$ = $\overrightarrow{DK}$ . Докажите, что треугольник BHD тоже правильный.

Решение

Доказать, что 2^2n–1 + 3n + 4 делится на 9 при любом n.

Решение

а) sin $\alpha$ + sin $\beta$ + sin $\gamma$ $\leq$ 3 $\sqrt{3}$ /2;
б) cos( $\alpha$ /2) + cos( $\beta$ /2) + cos( $\gamma$ /2) $\leq$ 3 $\sqrt{3}$ /2.

Решение

Несколько кругов одного радиуса положили на стол так, что никакие два не перекрываются. Докажите, что круги можно раскрасить в четыре цвета так, что любые два касающихся круга будут разного цвета.

Решение

Докажите, что композицию чётного числа симметрий относительно прямых нельзя представить в виде композиции нечётного числа симметрий относительно прямых.

Решение

Триангуляцией многоугольника называют его разбиение на треугольники, обладающее тем свойством, что эти треугольники либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо не имеют общих точек (т. е. вершина одного треугольника не может лежать на стороне другого). Докажите, что треугольники триангуляции можно раскрасить в три цвета так, что имеющие общую сторону треугольники будут разного цвета.

Решение

Докажите, что любое движение плоскости является композицией не более чем трех симметрий относительно прямых.

Решение

Докажите, что для любого натурального n 10ⁿ + 18n – 1 делится на 27.

Решение

Задача 60289 (#01.016)

Задача 60290 (#01.017)

Задача 30607 (#01.018)

Задача 60292 (#01.019)

Задача 31250 (#01.020)