Версия для печати
Убрать все задачи

---

На плоскости даны три вектора a, b, c, причем a + b + c = 0. Докажите, что эти векторы аффинным преобразованием можно перевести в векторы равной длины тогда и только тогда, когда из отрезков с длинами ||, ||, || можно составить треугольник.

   Решение

---

На одной прямой взяты точки A₁, B₁ и C₁, а на другой — точки A₂, B₂ и C₂. Прямые A₁B₂ и A₂B₁, B₁C₂ и B₂C₁, C₁A₂ и C₂A₁ пересекаются в точках C, A и B соответственно. Докажите, что точки A, B и C лежат на одной прямой (Папп).

   Решение

---

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O. Точки E и F – середины не содержащих других вершин дуг AB и CD соответственно. Прямые, проходящие через точки E и F параллельно диагоналям четырёхугольника ABCD, пересекаются в точках K и L. Докажите, что прямая KL содержит точку O.

   Решение

---

Докажите, что равносторонний треугольник нельзя покрыть двумя меньшими равносторонними треугольниками.

   Решение

---

Число сторон многоугольника A₁...A_n нечётно. Докажите, что:
  а) если этот многоугольник вписанный и все его углы равны, то он правильный;
  б) если этот многоугольник описанный и все его стороны равны, то он правильный.

   Решение

---

Докажите неравенство для натуральных  n > 1:  

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 59]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60304  (#01.031)

Темы:   [ Индукция (прочее) ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9,10

Докажите неравенство для натуральных  n > 1:  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30899  (#01.032)  [Неравенство Бернулли]

Темы:   [ Классические неравенства (прочее) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

x ≥ –1, n – натуральное число. Докажите, что   (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60306  (#01.033)

Темы:   [ Индукция (прочее) ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Докажите неравенство:  2ⁿ > n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60307  (#01.034)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Произведения и факториалы ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Докажите неравенство для натуральных n:  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60308  (#01.035)

Темы:   [ Индукция (прочее) ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Докажите неравенство   nⁿ⁺¹ > (n + 1)ⁿ  для натуральных  n > 2.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 59]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями