Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел
>>
глава 1. Метод математической индукции
- параграф 1. Аксиома индукции (7 задач)
- параграф 2. Тождества, неравенства и делимость (33 задачи)
- параграф 3. Индукция в геометрии и комбинаторике (19 задач)
Фильтр
Выбрано 14 задач Убрать все задачи
Решить в целых числах уравнение x² = 14 + y².
а) Сколькими способами можно разбить 15 человек на три команды по пять человек в каждой?
б) Сколькими способами можно выбрать из 15 человек две команды по пять человек в каждой?
Может ли сумма цифр точного квадрата равняться 1970?
Дан треугольник ABC и точка P. Точки A', B', C' – проекции P на прямые BC, CA, AB. Прямая, проходящая через P и параллельная AB, вторично пересекает описанную окружность треугольника PA'B' в точке C1. Точки A1, B1 определены аналогично. Докажите, что
а) прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке;
б) треугольники ABC и A1B1C1 подобны.
Пусть p и q – различные простые числа. Докажите, что
а) pq + qp ≡ p + q (mod pq);
б) – чётное число, если p, q ≠ 2.
Пусть P(xn) делится на x – 1. Докажите, что P(xn) делится на xn – 1.
Найдите наименьшее число, записываемое одними
единицами, делящееся на
(в записи 100 троек).
Решить в целых числах уравнение x² + y² = 4z – 1.
а) Дано шестизначное число abcdef, причём abc + def делится на 37. Докажите, что и само число делится на 37.
б) Сформулируйте и докажите признак делимости на 37.
Даны точки A, B. Найдите геометрическое место таких точек C, что C, середины отрезков AC, BC и точка пересечения медиан треугольника ABC лежат на одной окружности.
С помощью двусторонней линейки постройте центр
данной окружности, диаметр которой больше ширины линейки.
Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 36, в записи которого встречаются все 10 цифр.
Доказать, что можно расставить в вершинах правильного n-угольника действительные числа x1, x2, ..., xn, все отличные от 0, так, чтобы для любого правильного k-угольника, все вершины которого являются вершинами исходного n-угольника, сумма чисел, стоящих в его вершинах, равнялась 0.
Докажите, что квадрат можно разрезать на n квадратов для
любого n, начиная с шести.
Задачи Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 59]
Задача 60314 (#01.041) |
|
|
Из квадрата клетчатой бумаги размером
16×16
вырезали одну клетку. Докажите, что полученную фигуру можно
разрезать на "уголки'' из трех клеток.
|
|
Решение |
Задача 60315 (#1.42, 1.43, 1.44)[Ханойская башня I] |
|
|
а) Головоломка "Ханойская башня" представляет собой восемь дисков, нанизанных в порядке уменьшения размеров на один из трёх колышков. Требуется переместить всю башню на другой колышек, перенося каждый раз только один диск и не помещая больший диск на меньший. Докажите, что головоломка имеет решение. Какой способ будет оптимальным (по числу перекладываний дисков)?
б) Занумеруем колышки числами 1, 2, 3. Требуется переместить диски с 1-го колышка на 3-й. Сколько понадобится перекладываний, если прямое перемещение диска с 1-го колышка на 3-й и с 3-го на 1-й запрещено (каждое перекладывание должно производиться через 2-й колышек)?
в) Сколько понадобится перекладываний, если в условии пункта а) добавить дополнительное требование: первый (самый маленький) диск нельзя класть на 2-й колышек?
|
|
|
Решение |
Задача 60318 (#01.045) |
|
|
Докажите, что квадрат можно разрезать на n квадратов для
любого n, начиная с шести.
|
|
Решение |
Задача 60319 (#01.046) |
|
|
Докажите, что правильный треугольник можно
разрезать на n правильных треугольников для любого n, начиная
с шести.
|
|
|
Решение |
Задача 60320 (#01.047)[Золотая цепочка] |
|
|
а) На постоялом дворе остановился путешественник, и хозяин согласился в качестве уплаты за проживание брать кольца золотой цепочки, которую тот носил на руке. Но при этом он поставил условие, чтобы оплата была ежедневной: каждый день хозяин должен был иметь на одно кольцо больше, чем в предыдущий. Замкнутая в кольцо цепочка содержала 11 колец, а путешественник собирался прожить ровно 11 дней, поэтому он согласился. Какое наименьшее число колец он должен распилить, чтобы иметь возможность платить хозяину?
б) Из скольких колец должна состоять цепочка, чтобы путешественник мог прожить на постоялом дворе наибольшее число дней при условии, что он может распилить только n колец?|
|
|
Решение |
Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 59]
