В последовательности чисел Фибоначчи выбрано 8 чисел, идущих подряд. Докажите, что их сумма не является числом Фибоначчи.

   Решение

Разрежьте одну из фигур, приведенных на рисунке, на две части так, чтобы из них можно было сложить каждую из оставшихся. Нарисуйте, как вы разрезаете и как складываете.

   Решение

а) Из точки A проведены прямые, касающиеся окружности S в точках B и C. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника ABC и центр его вневписанной окружности, касающейся стороны BC, лежат на окружности S.
б) Докажите, что окружность, проходящая через вершины B и C любого треугольника ABC и центр O его вписанной окружности, высекает на прямых AB и AC равные хорды.

   Решение

Из любых четырёх точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, можно так выбрать три, что треугольник с вершинами в этих точках имеет хотя бы один угол, не больший 45^o. Доказать. (Сравните с задачей 2 для 10 класса.)

   Решение

Докажите, что если число  n! + 1  делится на  n + 1,  то  n + 1  – простое число.

   Решение

Страница: << 31 32 33 34 35 36 37 >> [Всего задач: 559]      

Найдите наименьшее число, дающее следующие остатки: 1 – при делении на 2, 2 – при делении на 3, 3 – при делении на 4, 4 – при делении на 5, 5 – при делении на 6.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если число  n! + 1  делится на  n + 1,  то  n + 1  – простое число.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что существует такое натуральное n, что числа  n + 1,  n + 2,  ...,  n + 1989  – составные.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что существует бесконечно много простых чисел.

Прислать комментарий

Решение

Найти наибольший общий делитель чисел  2n + 13  и  n + 7.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 31 32 33 34 35 36 37 >> [Всего задач: 559]