Версия для печати
Убрать все задачи

---

В вершинах куба расставили числа 1², 2², ..., 8² (в каждую из вершин – по одному числу). Для каждого ребра посчитали произведение чисел в его концах. Найдите наибольшую возможную сумму всех этих произведений.

   Решение

---

Докажите равенства
а) - = 1;
б) + = 1.
Найдите общую формулу, для которой данные равенства являются частными случаями.

   Решение

---

Докажите, что граф с n вершинами, степень каждой из которых не менее ^n–1/₂, связен.

   Решение

---

План города имеет схему, изображенную на рисунке.

На всех улицах введено одностороннее движение: можно ехать только "вправо" или "вверх".
Сколько есть разных маршрутов, ведущих из точки A в точку B.

   Решение

---

Сколько существует шестизначных чисел, у которых по три чётных и нечётных цифры?

   Решение

---

Сколькими способами можно выбрать из полной колоды (52 карты) 10 карт так, чтобы
  а) среди них был ровно один туз?
  б) среди них был хотя бы один туз?

   Решение

---

Вся семья выпила по полной чашке кофе с молоком, причём Катя выпила четверть всего молока и шестую часть всего кофе.
Сколько человек в семье?

   Решение

---

Человек имеет шесть друзей и в течение пяти дней приглашает к себе в гости каких-то троих из них так, чтобы компания ни разу не повторялась.
Сколькими способами он может это сделать?

   Решение

---

В стране из каждого города выходит 100 дорог и от каждого города можно добраться до любого другого. Одну дорогу закрыли на ремонт.
Докажите, что и теперь от каждого города можно добраться до любого другого.

   Решение

---

Вычислите сумму:  

   Решение

---

Рассмотрим множество последовательностей длины n, состоящих из 0 и 1, в которых не бывает двух 1 стоящих рядом. Докажите, что количество таких последовательностей равно F_{n + 2}. Найдите взаимно-однозначное соответствие между такими последовательностями и маршрутами кузнечика из задачи 3.109.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60575  (#03.123)

Тема:   [ Числа Фибоначчи ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

В последовательности чисел Фибоначчи выбрано 8 чисел, идущих подряд. Докажите, что их сумма не является числом Фибоначчи.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60576  (#03.124)

Тема:   [ Числа Фибоначчи ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Рассмотрим множество последовательностей длины n, состоящих из 0 и 1, в которых не бывает двух 1 стоящих рядом. Докажите, что количество таких последовательностей равно F_{n + 2}. Найдите взаимно-однозначное соответствие между такими последовательностями и маршрутами кузнечика из задачи 3.109.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60577  (#03.125)

Темы:   [ Числа Фибоначчи ] [ Системы счисления (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Фибоначчиева система счисления. Докажите, что произвольное натуральное число n, не превосходящее F_m, единственным образом можно представит в виде

где все числа b₂, ..., b_m равны 0 либо 1, причем среди этих чисел нет двух единиц стоящих рядом, то есть b_kb_{k + 1} = 0 (2 k m - 1). Для записи числа в фибоначчиевой системе счисления используется обозначение:

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60578  (#03.126)  [Формула Бине]

Темы:   [ Числа Фибоначчи ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Докажите по индукции формулу Бине:

где = — ``золотое сечение'' или число Фидия, а = (``фи с крышкой'') — сопряженное к нему.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60579  (#03.127)

Темы:   [ Числа Фибоначчи ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Докажите следующий вариант формулы Бине:  

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями