Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]

Задача 60585 (#03.133)

Тема:

[

Числа Фибоначчи

]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Определение. Последовательность чисел Люка
{L₀, L₁, L₂, ...} = {2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, ...}
задается равенствами L₀=2, L₁=1, L_n=L_n-1+ L_n-2 при n>1.
Докажите, что числа Люка связаны с числами Фибоначчи соотношениями:
а) L_n = F_{n - 1} + F_{n + 1};
б) 5 F_n = L_{n - 1} + L_{n + 1};
в) F_2n = L_n^.F_n;
г) L_{n + 1}² + L_n² = 5F_{2n + 1};
д) F_{n + 2} + F_{n - 2} = 3F_n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60586 (#03.134)

Тема:

[

Числа Фибоначчи

]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

В вершинах правильных многоугольников записываются числа 1 и 2. Сколько существует таких многоугольников, что сумма чисел, стоящих в вершинах, равна n ( n $\geqslant$ 3)? Две расстановки чисел, которые можно совместить поворотом, не отождествляются.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60587 (#03.135)

Тема:

[

Числа Фибоначчи

]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Последовательность чисел Люка
{L₀, L₁, L₂, ...} = {2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, ...}
задается равенствами L₀=2, L₁=1, L_n=L_n-1+ L_n-2 при n>1.
Выразите L_n в замкнутой форме через $\varphi$ и $\widehat{\varphi}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 60588 (#03.136)

Темы:	[	Доказательство тождеств. Преобразования выражений	]
Темы:	[	Числа Фибоначчи	]

Сложность: 6
Классы: 10,11

Докажите равенства
а) $\sqrt[4]{\dfrac{7+3\sqrt5}{2}}$ - $\sqrt[4]{\dfrac{7-3\sqrt5}{2}}$ = 1;
б) $\sqrt[5]{\dfrac{11+5\sqrt5}{2}}$ + $\sqrt[9]{\dfrac{76-34\sqrt5}{2}}$ = 1.
Найдите общую формулу, для которой данные равенства являются частными случаями.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60589 (#03.137)

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Числа Фибоначчи	]
	[	Метод спуска	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Решите в целых числах уравнения: а) x² – xy – y² = 1; б) x² – xy – y² = –1.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]