Версия для печати
Убрать все задачи

---

Сколькими способами можно разбить 14 человек на пары?

   Решение

---

В классе, в котором учатся Петя и Ваня – 31 человек. Сколькими способами можно выбрать из класса футбольную команду (11 человек) так, чтобы Петя и Ваня не входили в команду одновременно?

   Решение

---

Сколько существует десятизначных чисел, в записи которых имеется хотя бы две одинаковые цифры?

   Решение

---

а) Докажите, что в последовательности чисел Фибоначчи при  m ≥ 2  встречается не менее четырёх и не более пяти m-значных чисел.
б) Докажите, что число F_5n+2  (n ≥ 0)  содержит в своей десятичной записи не менее  n + 1  цифры.

   Решение

---

Определение. Последовательность чисел Люка
{L₀, L₁, L₂, ...} = {2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, ...}
задается равенствами L₀=2, L₁=1, L_n=L_n-1+ L_n-2 при n>1.
Докажите, что числа Люка связаны с числами Фибоначчи соотношениями:
а) L_n = F_{n - 1} + F_{n + 1};
б) 5 F_n = L_{n - 1} + L_{n + 1};
в) F_2n = L_n ^. F_n;
г) L_{n + 1}² + L_n² = 5F_{2n + 1};
д) F_{n + 2} + F_{n - 2} = 3F_n.

   Решение

---

Сколькими способами можно поставить на шахматную доску так, чтобы они не били друг друга
  а) две ладьи;   б) двух королей;  в) двух слонов;   г) двух коней;   д) двух ферзей?
Все фигуры одного цвета.

   Решение

---

Сколько существует шестизначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна чётная цифра?

   Решение

---

Рассмотрим алгоритм Евклида из задачи 60488, состоящий из k шагов.
Докажите, что начальные числа m₀ и m₁ должны удовлетворять неравенствам  m₁ ≥ F_k+1,  m₀ ≥ F_k+2.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 [Всего задач: 35]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60590  (#03.138)

Темы:   [ Алгоритм Евклида ] [ Десятичная система счисления ] [ Числа Фибоначчи ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

а) Докажите, что в последовательности чисел Фибоначчи при  m ≥ 2  встречается не менее четырёх и не более пяти m-значных чисел.
б) Докажите, что число F_5n+2  (n ≥ 0)  содержит в своей десятичной записи не менее  n + 1  цифры.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60591  (#03.139)

Темы:   [ Алгоритм Евклида ] [ Числа Фибоначчи ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Рассмотрим алгоритм Евклида из задачи 60488, состоящий из k шагов.
Докажите, что начальные числа m₀ и m₁ должны удовлетворять неравенствам  m₁ ≥ F_k+1,  m₀ ≥ F_k+2.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60592  (#03.140)  [Теорема Ламе]

Темы:   [ Алгоритм Евклида ] [ Числа Фибоначчи ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Пусть число m₁ в десятичной системе счисления записывается при помощи n цифр.
Докажите, что при любом m₀ число шагов k в алгоритме Евклида для чисел m₀ и m₁ удовлетворяет неравенству  k ≤ 5n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60593  (#03.141)  [Фибоначчиевы коэффициенты]

Темы:   [ Числа Фибоначчи ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Данная таблица аналогична треугольнику Паскаля и состоит из фибоначчиевых коэффициентов     определяемых равенством

  а) Докажите, что фибоначчиевы коэффициенты обладают свойством симметрии  

  б) Найдите формулу, которая выражает коэффициент     через     и     (аналогичную равенству б) из задачи 60413).

  в) Объясните, почему все фибоначчиевы коэффициенты являются целыми числами.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60594  (#03.142)

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Пусть a₁, a₂, ... – такая последовательность ненулевых чисел, что  (a_m, a_n) = a_{(m, n)}  (m, n ≥ 1).

Докажите, что все обобщенные биномиальные коэффициенты     являются целыми числами.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 [Всего задач: 35]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями