Версия для печати
Убрать все задачи

---

В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $120^\circ$. Точка $I$ – центр вписанной окружности, $M$ – середина $BC$. Прямая, проходящая через $M$ и параллельная $AI$, пересекает окружность с диаметром $BC$ в точках $E$ и $F$ (точки $A$ и $E$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $BC$). Прямая, проходящая через $E$ и перпендикулярная $FI$, пересекает прямые $AB$ и $AC$ в точках $P$ и $Q$. Найдите угол $PIQ$.

   Решение

---

Докажите, что если  n > 2,  то число всех правильных несократимых дробей со знаменателем n чётно.

   Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 55]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60769  (#04.143)

Темы:   [ Функция Эйлера ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Решите уравнения   а)  φ(5^x) = 100;   б)  φ(7^x) = 294;   в)  φ(3^x5^y) = 600.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60770  (#04.144)

Тема:   [ Функция Эйлера ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Известно, что  (m, n) > 1.  Что больше φ(mn) или  φ(m)φ(n)?  Определение функции φ(n) см. в задаче 60758.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60771  (#04.145)

Тема:   [ Количество и сумма делителей числа ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Пусть τ(n) – количество положительных делителей натурального числа n. Решите уравнение  a = 2τ(a).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60772  (#04.146)

Темы:   [ Обыкновенные дроби ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Докажите, что если  n > 2,  то число всех правильных несократимых дробей со знаменателем n чётно.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60773  (#04.147)

Темы:   [ Обыкновенные дроби ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Функция Эйлера ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Найдите сумму всех правильных несократимых дробей со знаменателем n.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 55]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями