ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел >> глава 4. Арифметика остатков >> параграф 4. Теоремы Ферма и Эйлера
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Фольклор

От Майкопа до Белореченска 24 км. Три друга должны добраться: двое из Майкопа в Белореченск, а третий – из Белореченска в Майкоп. У них есть один велосипед, первоначально находящийся в Майкопе. Каждый из друзей может идти (со скоростью не более 6 км/ч) и ехать на велосипеде (со скоростью не более 18 км/ч). Оставлять велосипед без присмотра нельзя. Докажите, что через 2 часа 40 минут все трое друзей могут оказаться в пунктах назначения. Ехать на велосипеде вдвоём нельзя.

Вниз   Решение

а) Пусть A, B, C и D — произвольные точки плоскости. Докажите, что ($ \overrightarrow{AB}$,$ \overrightarrow{CD}$) + ($ \overrightarrow{BC}$,$ \overrightarrow{AD}$) + ($ \overrightarrow{CA}$,$ \overrightarrow{BD}$) = 0.
б) Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

ВверхВниз   Решение

Найдите сумму всех правильных несократимых дробей со знаменателем n.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 55]      

  с решениями  

Задача 60769  (#04.143)

Темы:   [ Функция Эйлера ]
[ Уравнения в целых числах ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Решите уравнения   а)  φ(5x) = 100;   б)  φ(7x) = 294;   в)  φ(3x5y) = 600.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60770  (#04.144)

Тема:   [ Функция Эйлера ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Известно, что  (m, n) > 1.  Что больше φ(mn) или  φ(m)φ(n)?  Определение функции φ(n) см. в задаче 60758.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60771  (#04.145)

Тема:   [ Количество и сумма делителей числа ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Пусть τ(n) – количество положительных делителей натурального числа n. Решите уравнение  a = 2τ(a).

Прислать комментарий     Решение

Задача 60772  (#04.146)

Темы:   [ Обыкновенные дроби ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Докажите, что если  n > 2,  то число всех правильных несократимых дробей со знаменателем n чётно.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60773  (#04.147)

Темы:   [ Обыкновенные дроби ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Функция Эйлера ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Найдите сумму всех правильных несократимых дробей со знаменателем n.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 55]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .