Каталог по источникам

Выбрано 12 задач

Коля Васин задумал число от 1 до 31 включительно и выбрал из 5 данных карточек

1	3	5	7
9	11	13	15
17	19	21	23
25	27	29	31

2	3	6	7
10	11	14	15
18	19	22	23
26	27	30	31

4	5	6	7
12	13	14	15
20	21	22	23
28	29	30	31

8	9	10	11
12	13	14	15
24	25	26	27
28	29	30	31

16	17	18	19
20	21	22	23
24	25	26	27
28	29	30	31

те, на которых это число присутствует. Как, зная эти карточки, угадать задуманное число? Какими должны быть карточки, чтобы по ним можно было угадывать числа от 1 до 63?

Решение

Карточный фокус. а) Берется колода из 27 карт (без одной масти). Ваш друг загадывает одну из карт. После чего вы раскладываете все карты в три равные кучки, кладя каждый раз по одной карте (в первую кучку, затем во вторую, затем в третью, потом снова в первую и т. д.). Ваш друг указывает на ту кучку, в которой лежит его карта. Далее вы складываете все три кучки вместе, вставляя при этом указанную кучку между двумя другими. Эта процедура повторяется еще два раза. На каком месте в колоде окажется загаданная карта, после того, как вы сложите вместе три кучки в третий раз?
б) На каком месте окажется загаданная карта, если с самого начала было 3n (n < 9) карт?

Решение

Каждое из рёбер полного графа с 18 вершинами покрашено в один из двух цветов.
Докажите, что есть четыре вершины, все рёбра между которыми – одного цвета.

Решение

Для последовательности {a_n}

$\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}^{}$ $\displaystyle \left(\vphantom{a_{n+1}-\dfrac{a_n}{2}}\right.$ a_{n + 1} - $\displaystyle {\dfrac{a_n}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{a_{n+1}-\dfrac{a_n}{2}}\right)$ = 0.

Докажите, что $\lim\limits_{n\to\infty}^{}$ a_n = 0.

Решение

Докажите, что для любого плоского графа (в том числе и несвязного) справедливо неравенство E ≤ 3V – 6.

Решение

Докажите, что для плоского связного графа справедливо неравенство E ≤ 3V – 6.

Решение

Можно ли нарисовать правильный треугольник с вершинами в узлах квадратной сетки?

Решение

Найдите предел последовательности, которая задана условиями

a₁ = 2, a_{n + 1} = $\displaystyle {\dfrac{a_n}{2}}$ + $\displaystyle {\dfrac{a_n^2}{8}}$ (n $\displaystyle \geqslant$ 1).

Решение

Докажите иррациональность следующих чисел:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) cos 10° ;

е) tg 10° ;

ж) sin 1° ;

з) log_₂3 .

Решение

Докажите, что уравнение x³ + x²y + y³ = 0 не имеет рациональных решений, кроме (0, 0).

Решение

Последовательность чисел {a_n} задана условиями

a₁ = 1, a_{n + 1} = $\displaystyle {\dfrac{3a_n}{4}}$ + $\displaystyle {\dfrac{1}{a_n}}$ (n $\displaystyle \geqslant$ 1).

Докажите, что
а) последовательность {a_n} ограничена;
б) | a₁₀₀₀ - 2| < $\left(\vphantom{\dfrac{3}{4}}\right.$ ${\dfrac{3}{4}}$ $\left.\vphantom{\dfrac{3}{4}}\right)^{1000}_{}$ .

Решение

Дан лист клетчатой бумаги. Докажите, что при n ≠ 4 не существует правильного n-угольника с вершинами в узлах решетки.

Решение

Задача 60864 (#05.026)

Задача 60865 (#05.027)

Задача 60866 (#05.028)

Задача 60867 (#05.029)

Задача 60868 (#05.030)