Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите неравенство  p_n+1 < p₁p₂...p_n  (p_k – k-е простое число).

   Решение

---

Через точку M, лежащую внутри параллелограмма ABCD, проведены прямые PR и QS, параллельные сторонам BC и AB (точки P, Q, R и S лежат на сторонах AB, BC, CD и DA соответственно). Докажите, что прямые BS, PD и MC пересекаются в одной точке.

   Решение

---

В остроугольном треугольнике ABC проведены биссектриса AD и высота BE. Докажите, что  ∠CED > 45°.

   Решение

---

Докажите, что при любых вещественных a_j, b_j  (1 ≤ j ≤ n)  выполняется неравенство

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 97]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61075  (#07.011)

Темы:   [ Комплексные числа (прочее) ] [ Теорема о сумме квадратов диагоналей ]

Сложность: 2+ Классы: 9,10,11

Докажите, что для произвольных комплексных чисел z> и w выполняется равенство  |z + w|² + | z – w|² = 2(|z|² + |w|²).
Какой геометрический смысл оно имеет?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61076  (#07.012)

Темы:   [ Классические неравенства (прочее) ] [ Неравенство треугольника (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Докажите, что при любых вещественных a_j, b_j  (1 ≤ j ≤ n)  выполняется неравенство

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61077  (#07.013)

Тема:   [ Тригонометрическая форма. Формула Муавра ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Докажите, что если  x + iy = (s + it)ⁿ,  то  x² + y² = (s² + t²)ⁿ.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61078  (#07.014)  [Тождество Диофанта]

Темы:   [ Тождественные преобразования ] [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ] [ Комплексные числа помогают решить задачу ]

Сложность: 2 Классы: 7,8,9,10,11

Докажите равенство   (a² + b²)(u² + v²) = (au + bv)² + (av – bu)².

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61079  (#07.015)

Тема:   [ Алгебраические уравнения в C. Извлечение корня ]

Сложность: 2+ Классы: 9,10,11

Докажите, что квадратные корни из комплексного числа  z = a + ib  находятся среди чисел

Как нужно выбрать знак перед вторым слагаемым в скобке, чтобы получить два нужных корня, а не сопряженные к ним числа?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 97]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями