Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пусть  x₁, x₂, ..., x_n  – некоторые числа, принадлежащие отрезку  [0, 1].
Докажите, что на этом отрезке найдется такое число x, что   ¹/_n (|x – x₁| + |x – x₂| + ... + |x – x_n|)  = ½.

   Решение

---

Восстановите прямоугольный треугольник ABC  (∠C = 90°)  по вершинам A, C и точке на биссектрисе угла B .

   Решение

---

Докажите, что среднее арифметическое всех делителей натурального числа n лежит на отрезке  

   Решение

---

Прямые AP, BP и CP пересекают стороны треугольника ABC (или их продолжения) в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что:
а) прямые, проходящие через середины сторон BC, CA и AB параллельно прямым AP, BP и CP, пересекаются в одной точке;
б) прямые, соединяющие середины сторон BC, CA и AB с серединами отрезков AA₁, BB₁ и CC₁, пересекаются в одной точке.

   Решение

---

На плоскости даны точки A₁ , A₂ , A_n и точки B₁ , B₂ , B_n . Докажите, что точки B_i можно перенумеровать так, что для всех i j угол между векторами и – острый или прямой.

   Решение

---

Метод Ньютона. Для приближенного нахождения корней уравнения f (x) = 0 Ньютон предложил искать последовательные приближения по формуле

(начальное условие x₀ следует выбирать поближе к искомому корню).
Докажите, что для функции f (x) = x² - k и начального условия x₀ > 0 итерационный процесс всегда будет сходиться к , то есть x_n = .
Как будет выражаться x_{n + 1} через x_n? Сравните результат с формулой из задачи 9.48.

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 44]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61326  (#09.076)

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Итерации ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Найдите с точностью до 0,01 сотый член x₁₀₀ последовательности {x_n}, если
а) x₁ [0; 1], x_{n + 1} = x_n(1 - x_n), (n > 1);
б) x₁ [0, 1; 0, 9], x_{n + 1} = 2x_n(1 - x_n), (n > 1).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61327  (#09.077)

Тема:   [ Производная и касательная ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Докажите, что касательная к графику функции f (x), построенная в точке с координатами (x₀;f (x₀)) пересекает ось Ox в точке с координатой

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61328  (#09.078)

Темы:   [ Итерации ] [ Предел последовательности, сходимость ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Метод Ньютона. Для приближенного нахождения корней уравнения f (x) = 0 Ньютон предложил искать последовательные приближения по формуле

(начальное условие x₀ следует выбирать поближе к искомому корню).
Докажите, что для функции f (x) = x² - k и начального условия x₀ > 0 итерационный процесс всегда будет сходиться к , то есть x_n = .
Как будет выражаться x_{n + 1} через x_n? Сравните результат с формулой из задачи 9.48.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61329  (#09.079)  [Метод Ньютона и числа Фибоначчи]

Темы:   [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Итерации ] [ Числа Фибоначчи ] [ Цепные (непрерывные) дроби ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Применим метод Ньютона (см. задачу 61328) для приближённого нахождения корней многочлена   f(x) = x² – x – 1. Какие последовательности чисел получатся, если
  а)  x₀ = 1;   б)  x₀ = 0?
К каким числам будут сходиться эти последовательности?
Опишите разложения чисел x_n в цепные дроби.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61330  (#09.080)

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Предел последовательности, сходимость ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Пусть p и q — отличные от нуля действительные числа и p² - 4q > 0. Докажите, что следующие последовательности сходятся:
а) y₀ = 0,        y_{n + 1} =     (n 0);
б) z₀ = 0,        z_{n + 1} = p -     (n 0).
Установите связь между предельными значениями этих последовательностей y*, z^* и корнями уравнения x² - px + q = 0.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 44]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями