ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел >> глава 11. Последовательности и ряды >> параграф 2. Рекуррентные последовательности
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

При возведении числа  1 + в различные степени, можно обнаружить некоторые закономерности:
  (1 + )1 = 1 + = + ,   (1 + )2 = 3 + 2 = + ,   (1 + )3 = 7 + 5 = + ,   (1 + )4 = 17 + 12 = + .
Для их изучения определим числа an и bn при помощи равенства  (1 + )n = an + bn,  (n ≥ 0).
  а) Выразите через an и bn число  (1 – )n.
  б) Докажите равенство  
  в) Каким рекуррентным уравнениям удовлетворяют последовательности {an} и {bn}?
  г) Пользуясь пунктом а), найдите формулы n-го члена для последовательностей {an} и {bn}.
  д) Найдите связь между числами an, bn и подходящими дробями к числу .

   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      

  с решениями  

Задача 61463  (#11.036)

Темы:   [ Линейные рекуррентные соотношения ]
[ Квадратные корни (прочее) ]
[ Цепные (непрерывные) дроби ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

При возведении числа  1 + в различные степени, можно обнаружить некоторые закономерности:
  (1 + )1 = 1 + = + ,   (1 + )2 = 3 + 2 = + ,   (1 + )3 = 7 + 5 = + ,   (1 + )4 = 17 + 12 = + .
Для их изучения определим числа an и bn при помощи равенства  (1 + )n = an + bn,  (n ≥ 0).
  а) Выразите через an и bn число  (1 – )n.
  б) Докажите равенство  
  в) Каким рекуррентным уравнениям удовлетворяют последовательности {an} и {bn}?
  г) Пользуясь пунктом а), найдите формулы n-го члена для последовательностей {an} и {bn}.
  д) Найдите связь между числами an, bn и подходящими дробями к числу .

Прислать комментарий     Решение

Задача 61464  (#11.037)

Темы:   [ Линейные рекуррентные соотношения ]
[ Квадратные корни (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Рассмотрим равенства:

2 + $\displaystyle \sqrt{3}$ = $\displaystyle \sqrt{4}$ + $\displaystyle \sqrt{3}$,
(2 + $\displaystyle \sqrt{3}$)2 = $\displaystyle \sqrt{49}$ + $\displaystyle \sqrt{48}$,
(2 + $\displaystyle \sqrt{3}$)3 = $\displaystyle \sqrt{676}$ + $\displaystyle \sqrt{675}$,
(2 + $\displaystyle \sqrt{3}$)4 = $\displaystyle \sqrt{9409}$ + $\displaystyle \sqrt{9408}$.

Обобщите результат наблюдения и докажите возникшие у вас догадки.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61465  (#11.038)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Квадратные корни (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Докажите, что уравнение   (x + y)4 + (z + t)4 = 2 +   не имеет решений в рациональных числах.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61466  (#11.039)

Тема:   [ Уравнения в целых числах ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Найдите все целочисленные решения уравнения  a² – 3b² = 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61467  (#11.040)

Тема:   [ Линейные рекуррентные соотношения ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Докажите, что произвольная последовательность Qn, заданная условиями

Q0 = $\displaystyle \alpha$,    Q1 = $\displaystyle \beta$,    Qn + 2 = Qn + 1 + Qn    (n $\displaystyle \geqslant$ 0),

может быть выражена через числа Фибоначчи Fn и числа Люка Ln (определение чисел Люка смотри в задаче 3.133).

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .