Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел >> глава 11. Последовательности и ряды >> параграф 2. Рекуррентные последовательности
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 9 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Лягушка прыгает по вершинам треугольника ABC, перемещаясь каждый раз в одну из соседних вершин.
Сколькими способами она может попасть из A в A за n прыжков?

Вниз   Решение

Пусть характеристическое уравнение (11.3 ) последовательности (11.2) имеет комплексные корни x1, 2 = a±ib = re±i$\scriptstyle \varphi$. Докажите, что для некоторой пары чисел c1, c2 будет выполняться равенство

an = rn(c1cos n$\displaystyle \varphi$ + c2sin n$\displaystyle \varphi$).


ВверхВниз   Решение

Докажите, что если  ∠BAC = 2∠ABC,  то   BC² = (AC + AB)·AC.

ВверхВниз   Решение

На неравных сторонах AB и AC треугольника ABC внешним образом построены равнобедренные треугольники AC1B и AB1C с углом φ при вершине.
  а) M – точка медианы AA1 (или её продолжения), равноудаленная от точек B1 и C1. Докажите, что  ∠B1MC1 = φ.
  б) O – точка серединного перпендикуляра к отрезку BC, равноудаленная от точек B1 и C1. Докажите, что  ∠B1OC1 = 180° – φ.

ВверхВниз   Решение

Продолжения боковых сторон трапеции с основаниями AD и BC пересекаются в точке O. Концы отрезка EF, параллельного основаниям и проходящего через точку пересечения диагоналей, лежат соответственно на сторонах AB и CD. Докажите, что  AE : CF = AO : CO.

ВверхВниз   Решение

Садовник, привив черенок редкого растения, оставляет его расти два года, а затем ежегодно берет от него по 6 черенков. С каждым новым черенком он поступает аналогично. Сколько будет растений и черенков на n-ом году роста первоначального растения?

ВверхВниз   Решение

Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность радиуса R с центром O, причём  AB = CD = EF = R.  Докажите, что точки попарного пересечения описанных окружностей треугольников BOC, DOE и FOA, отличные от точки O, являются вершинами правильного треугольника со стороной R.

ВверхВниз   Решение

На сторонах выпуклого четырёхугольника ABCD внешним образом построены подобные ромбы, причём их острые углы α прилегают к вершинам A и C. Докажите, что отрезки, соединяющие центры противоположных ромбов, равны, а угол между ними равен α.

ВверхВниз   Решение

Определим последовательности {xn} и {yn} при помощи условий:

xn = xn - 1 + 2yn - 1sin2$\displaystyle \alpha$,    yn = yn - 1 + 2xn - 1cos2$\displaystyle \alpha$;    x0 = 0, y0 = cos$\displaystyle \alpha$.

Найдите выражение для xn и yn через n и $ \alpha$.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      

  с решениями  

Задача 61478  (#11.051)

Темы:   [ Квадратные корни (прочее) ]
[ Линейные рекуррентные соотношения ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

Докажите, что при всех натуральных n выполняется сравнение [(1 + $ \sqrt{2}$)n] $ \equiv$ n(mod 2).

Прислать комментарий     Решение

Задача 61479  (#11.052)

Тема:   [ Уравнения в целых числах ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Докажите, что последовательность  an = 1 + 17n²  (n ≥ 0)  содержит бесконечно много квадратов целых чисел.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61480  (#11.053)

Тема:   [ Линейные рекуррентные соотношения ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Определим последовательности {xn} и {yn} при помощи условий:

xn = xn - 1 + 2yn - 1sin2$\displaystyle \alpha$,    yn = yn - 1 + 2xn - 1cos2$\displaystyle \alpha$;    x0 = 0, y0 = cos$\displaystyle \alpha$.

Найдите выражение для xn и yn через n и $ \alpha$.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61481  (#11.054)

Темы:   [ Текстовые задачи (прочее) ]
[ Итерации ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Пять моряков высадились на остров и к вечеру набрали кучу кокосовых орехов. Дележ отложили на утро. Один из них, проснувшись ночью, угостил одним орехом мартышку, а из остальных орехов взял себе точно пятую часть, после чего лёг спать и быстро уснул. За ночь так же поступили один за другим и остальные моряки; при этом каждый не знал о действиях предшественников. На утро они поделили оставшиеся орехи поровну, но для мартышки в этот раз лишнего ореха не осталось. Каким могло быть наименьшее число орехов в собранной куче?

Прислать комментарий     Решение

Задача 61482  (#11.055)

Темы:   [ Линейные рекуррентные соотношения ]
[ Многочлены (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

Как будет выглядеть формула n-го члена для рекуррентной последовательности k-го порядка, если
  a) характеристическое уравнение имеет простые корни  x1,..., xk,  отличные от нуля;
  б) характеристическое уравнение имеет отличные от нуля корни  x1, ..., xm  с кратностями  α1, ..., αm  соответственно?
Определения, связанные с рекуррентными последовательностями, смотри в справочнике.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .