Каталог по источникам

Выбрано 24 задачи

Версия для печати
Убрать все задачи

Построить прямоугольный треугольник по двум медианам, проведённым к катетам.

Решение

a, b, c ≥ 0. Докажите, что 2(a³ + b³ + c³) ≥ a²b + ab² + a²c + ac² + b²c + bc².

Решение

Верно ли, что из любых 10 отрезков найдутся три, из которых можно составить треугольник?

Решение

Автор: Кожевников П.А.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=AC$) проведена высота $AA_0$. Окружность $\gamma$ с центром в середине $AA_0$ касается прямых $AB$ и $AC$. Из точки $X$ прямой $BC$ проведены две касательные к $\gamma$. Докажите, что эти касательные высекают на прямых $AB$ и $AC$ равные отрезки.

Решение

Докажите, что при любом x выполняется неравенство x(x + 1)(x + 2)(x + 3) ≥ –1.

Решение

Найдите наибольший общий делитель многочленов P(x), Q(x) и представьте его в виде P(x)U(x) + Q(x)V(x):
а) P(x) = x⁴ + x³ – 3x² – 4x – 1, Q(x) = x³ + x² – x – 1;
б) P(x) = 3x⁴ – 5x³ + 4x² – 2x + 1, Q(x) = 3x³ – 2x² + x – 1.

Решение

Найти последнюю цифру числа 1·2 + 2·3 + ... + 999·1000.

Решение

Пусть (P(x), Q(x)) = D(x).
Докажите, что существуют такие многочлены U(x) и V(x), что degU (x) < deg Q(x), deg V(x) < deg P(x) и P(x)U(x) + Q(x)V(x) = D(x).

Решение

Сколько цифр у числа 2¹⁰⁰⁰?

Решение

На сколько нулей оканчивается число 9⁹⁹⁹ + 1?

Решение

Сумма двух неотрицательных чисел равна 10. Какое максимальное и какое минимальное значение может принимать сумма их квадратов?

Решение

Автор: Фольклор

Докажите, что для произвольных a, b, с равенство выполнено тогда и только тогда, когда выполнено равенство .

Решение

Определим последовательности {x_n} и {y_n} при помощи условий:

x_n = x_{n - 1} + 2y_{n - 1}sin² $\displaystyle \alpha$ , y_n = y_{n - 1} + 2x_{n - 1}cos² $\displaystyle \alpha$ ; x₀ = 0, y₀ = cos $\displaystyle \alpha$ .

Найдите выражение для x_n и y_n через n и $\alpha$ .

Решение

Докажите, что многочлен a³(b² – c²) + b³(c² – a²) + c³(a² – b²) делится на (b – c)(c – a)(a – b).

Решение

a + b = 1. Каково максимальное значение величины ab?

Решение

Докажите, что для любого числа p > 2 найдется такое число $\beta$ , что

$\displaystyle \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2+ \sqrt{2+p}}}}}_{n~\mbox{\scriptsize {радикалов}}}^{}\,$ = $\displaystyle \beta^{2^n}_{}$ - $\displaystyle \beta^{-2^n}_{}$ .

Решение

Лягушка прыгает по вершинам шестиугольника ABCDEF, каждый раз перемещаясь в одну из соседних вершин.
а) Сколькими способами она может попасть из A в C за n прыжков?
б) Тот же вопрос, но при условии, что ей нельзя прыгать в D?
Лягушка-сапер.
в) Пусть путь лягушки начинается в вершине A, а в вершине D находится мина. Каждую секунду она делает очередной прыжок. Какова вероятность того, что она еще будет жива через n секунд?
г)* Какова средняя продолжительность жизни таких лягушек?

Решение

Автор: Белухов Н.

Найдите наименьшее натуральное $k$ такое, что в любом выпуклом $1001$-угольнике сумма длин любых $k$ диагоналей не меньше суммы длин остальных диагоналей.

Решение

Можно ли нарисовать эту картинку (см. рис.), не отрывая карандаша от бумаги и проходя по каждой линии по одному разу?

Решение

Автор: Берлов С.Л.

В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы B и D равны, CD = 4BC, а биссектриса угла A проходит через середину стороны CD.
Чему может быть равно отношение AD : AB?

Решение

Автор: Храмцов Д.

На полке в произвольном порядке стоят десять томов энциклопедии, пронумерованных от 1 до 10. Разрешается менять местами любые два тома, между которыми стоит не меньше четырёх других томов. Всегда ли можно расставить все тома по возрастанию номеров?

Решение

Разложите функции и (n ≥ 1) в цепные дроби.
Определения многочленов Фибоначчи F_n(x) и Люка L_n(x) смотри, например, здесь.

Решение

Докажите, что многочлены Фибоначчи и Люка связаны с многочленами Чебышёва равенствами
U_n(^x/₂) = i^–nF_n+1(ix); 2T_n(^x/₂) = i^–nL_n(ix).
Про многочлены Фибоначчи, Люка и Чебышёва смотри в справочнике.

Решение

Пусть F(x) — производящая функция последовательности {a_n}. Докажите равенство $\left.\vphantom{a_n=\dfrac{F^{(n)}(x)}{n!}}\right.$ a_n = ${\dfrac{F^{(n)}(x)}{n!}}$ $\left.\vphantom{a_n=\dfrac{F^{(n)}(x)}{n!}}\right\vert _{x=0}^{}$ .

Решение

Задача 61488 (#11.061)

Задача 61489 (#11.062)

Задача 61490 (#11.063)

Задача 61491 (#11.064)

Задача 61492 (#11.065)