Версия для печати
Убрать все задачи

---

В некотором государстве было 2002 города, соединённых дорогами так, что если запретить проезд через любой из городов, то из каждого из оставшихся городов можно добраться до любого другого. Каждый год король выбирает некоторый несамопересекающийся циклический маршрут и приказывает построить новый город, соединить его дорогами со всеми городами выбранного маршрута, а все дороги этого маршрута закрыть за ненадобностью. Через несколько лет в стране не осталось ни одного несамопересекающегося циклического маршрута, проходящего по ее городам. Докажите, что в этот момент количество городов, из которых выходит ровно одна дорога, не меньше 2002.

   Решение

---

Из целых чисел от 0 до 1000 выбрали 101 число.
Докажите, что среди модулей их попарных разностей есть десять различных чисел, не превосходящих 100.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64359  (#11.1)

Темы:   [ Многочлен нечетной степени имеет действительный корень ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Даны многочлены P(x) и Q(x) десятой степени, старшие коэффициенты которых равны 1. Известно, что уравнение  P(x) = Q(x)  не имеет действительных корней. Докажите, что уравнение P(x + 1) = Q(x – 1) имеет хотя бы один действительный корень.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64360  (#11.2)

Темы:   [ Сфера, вписанная в тетраэдр ] [ Элементы пирамиды (прочее) ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Проектирование помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Вписанная и вневписанная сферы треугольной пирамиды ABCD касаются её грани BCD в различных точках X и Y.
Докажите, что треугольник AXY тупоугольный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64361  (#11.3)

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Произведения и факториалы ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Малая теорема Ферма ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Найдите все такие натуральные k, что произведение первых k нечётных простых чисел, уменьшенное на 1, является точной степенью натурального числа (большей, чем первая).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64362  (#11.4)

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Степень вершины ] [ Индукция (прочее) ] [ Кооперативные алгоритмы ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

На каждой из 2013 карточек написано по числу, все эти 2013 чисел различны. Карточки перевёрнуты числами вниз. За один ход разрешается указать на десять карточек, и в ответ сообщат одно из чисел, написанных на них (неизвестно, какое).
Для какого наибольшего t гарантированно удастся найти t карточек, про которые известно, какое число написано на каждой из них?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64363  (#11.5)

Темы:   [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Из целых чисел от 0 до 1000 выбрали 101 число.
Докажите, что среди модулей их попарных разностей есть десять различных чисел, не превосходящих 100.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями