Пять отрезков провели (не отрывая карандаша от бумаги) так, что получилась пятиугольная звезда, разделённая проведёнными отрезками на пять треугольников и пятиугольник. Оказалось, что все пять треугольников равны. Обязательно ли пятиугольник правильный?

   Решение

Найдите все пары целых чисел  (x, y),  для которых числа  x³ + y  и  x + y³  делятся на  x² + y².

   Решение

Натуральные числа a, b, c, d попарно взаимно просты и удовлетворяют равенству  ab + cd = ac – 10bd.
Докажите, что среди них найдутся три числа, одно из которых равно сумме двух других.

   Решение

В окружность вписан 101-угольник. Из каждой его вершины опустили перпендикуляр на прямую, содержащую противоположную сторону.
Докажите, что хотя бы у одного из перпендикуляров основание попадёт на сторону (а не на её продолжение).

   Решение

Даны две бесконечные прогрессии: арифметическая a₁, a₂, a₃, ... и геометрическая b₁, b₂, b₃, ..., причём все числа, которые встречаются среди членов геометрической прогрессии, встречаются также и среди членов арифметической прогрессии. Докажите, что знаменатель геометрической прогрессии – целое число.

   Решение

На доске написано несколько целых положительных чисел: a₀, a₁, a₂, ... , a_n. Пишем на другой доске следующие числа: b₀ – сколько всего чисел на первой доске, b₁ – сколько там чисел, больших единицы, b₂ – сколько чисел, больших двойки, и т.д., пока получаются положительные числа. На этом заканчиваем – нули не пишем. На третьей доске пишем числа c₀, c₁, c₂, ... , построенные по числам второй доски по тому же правилу, по которому числа b₀, b₁, b₂, ... строились по числам первой доски. Докажите, что наборы чисел на первой и третьей досках совпадают.

   Решение

Даны две концентрические окружности $\Omega$ и $\omega$. Хорда $AD$ окружности $\Omega$ касается $\omega$. Внутри меньшего сегмента $AD$ круга с границей $\Omega$ взята произвольная точка $P$. Касательные из $P$ к окружности $\omega$ пересекают большую дугу AD окружности $\Omega$ в точках $B$ и $C$. Отрезки $BD$ и $AC$ пересекаются в точке $Q$. Докажите, что отрезок $PQ$ делит отрезок $AD$ на две равные части.

   Решение

В кабинете сидят N нерях, у каждого на его столе скопилось ненулевое количество мусора. Неряхи выходят обедать по одному (после возвращения предыдущего), а в это время каждый из остальных перекладывает половину мусора со своего стола на стол вышедшего. Может ли случиться, что после того, как все пообедали, количество мусора на столах ни у кого не изменится, если а) N = 2; б) N = 10?

   Решение

На доске написаны два 2007-значных числа. Известно, что из обоих чисел можно вычеркнуть по семь цифр так, чтобы получились одинаковые числа. Докажите, что в исходные числа можно вписать по семь цифр так, чтобы тоже получились одинаковые числа.

   Решение

Последовательность нулей и единиц строится следующим образом: на k-м месте ставится ноль, если сумма цифр числа k чётна, и единица, если сумма цифр числа k нечётна. Докажите, что эта последовательность непериодична.

   Решение

На шахматной доске стоят восемь не бьющих друг друга ладей. Докажите, что можно каждую из них передвинуть ходом коня так, что они по-прежнему не будут бить друг друга. (Все восемь ладей передвигаются "одновременно", то есть если, например, две ладьи бьют друг друга ходом коня, то их можно поменять местами.)

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 43]      

На клетчатой доске 5×5 Петя отмечает несколько клеток. Вася выиграет, если сможет накрыть все эти клетки неперекрывающимися и не вылезающими за границу квадрата уголками из трёх клеток (уголки разрешается класть только "по клеточкам"). Какое наименьшее число клеток должен отметить Петя, чтобы Вася не смог выиграть?

Прислать комментарий

Решение

На шахматной доске стоят восемь не бьющих друг друга ладей. Докажите, что можно каждую из них передвинуть ходом коня так, что они по-прежнему не будут бить друг друга. (Все восемь ладей передвигаются "одновременно", то есть если, например, две ладьи бьют друг друга ходом коня, то их можно поменять местами.)

Прислать комментарий

Решение

Наименьшее общее кратное натуральных чисел a, b будем обозначать [a, b]. Пусть натуральное число n таково, что  [n, n + 1] > [n, n + 2] > ... > [n, n + 35].
Докажите, что  [n, n + 35] > [n, n + 36].

Прислать комментарий

Решение

Космический аппарат сел на неподвижный астероид, про который известно только, что он представляет собой шар или куб. Аппарат проехал по поверхности астероида в точку, симметричную начальной относительно центра астероида. Всё это время он непрерывно передавал свои пространственные координаты на космическую станцию, и там точно определили трёхмерную траекторию аппарата. Может ли этого оказаться недостаточно, чтобы отличить, по кубу или по шару ездил аппарат?

Прислать комментарий

Решение

Петя нарисовал на плоскости квадрат, разделил на 64 одинаковых квадратика и раскрасил их в шахматном порядке в чёрный и белый цвета. После этого он загадал точку, находящуюся строго внутри одного из этих квадратиков. Вася может начертить на плоскости любую замкнутую ломаную без самопересечений и получить ответ на вопрос, находится ли загаданная точка строго внутри ломаной или нет. За какое наименьшее количество таких вопросов Вася может узнать, какого цвета загаданная точка – белого или чёрного?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 43]