Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]

Задача 64763 (#9.3)

Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Индукция в геометрии	]
	[	Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Берлов С.Л.

В выпуклом n-угольнике проведено несколько диагоналей. Проведённая диагональ называется хорошей, если она пересекается (по внутренним точкам) ровно с одной из других проведённых диагоналей. Найдите наибольшее возможное количество хороших диагоналей.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64771 (#10.3)

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Свойства модуля. Неравенство треугольника	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Богданов И.И., Иванов Г.

В сейфе n ячеек с номерами от 1 до n. В каждой ячейке первоначально лежала карточка с её номером. Вася переложил карточки в некотором порядке так, что в i-й ячейке оказалась карточка с числом a_i. Петя может менять местами любые две карточки с номерами x и y, платя за это 2|x – y| рублей. Докажите, что Петя сможет вернуть все карточки на исходные места, заплатив не более |a₁ – 1| + |a₂ – 2| + ... + |a_n – n| рублей.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64779 (#11.3)

Темы:	[	Периодические и непериодические дроби	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Голованов А.С.

Положительные рациональные числа a и b записаны в виде десятичных дробей, у каждой из которых минимальный период состоит из 30 цифр. У десятичной записи числа a – b длина минимального периода равна 15. При каком наименьшем натуральном k длина минимального периода десятичной записи числа a + kb может также оказаться равной 15?

Прислать комментарий

Решение

Задача 64621 (#9.4)

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Берлов С.Л.

Все клетки квадратной таблицы 100×100 пронумерованы в некотором порядке числами от 1 до 10000. Петя закрашивает клетки по следующим правилам. Вначале он закрашивает k клеток по своему усмотрению. Далее каждым ходом Петя может закрасить одну еще не закрашенную клетку с номером a, если для неё выполнено хотя бы одно из двух условий: либо в одной строке с ней есть уже закрашенная клетка с номером меньшим, чем a; либо в одном столбце с ней есть уже закрашенная клетка с номером большим, чем a. При каком наименьшем k независимо от исходной нумерации Петя за несколько ходов сможет закрасить все клетки таблицы?

Прислать комментарий

Решение

Задача 64629 (#10.4)

Темы:	[	Признаки подобия	]
Темы:	[	Векторы помогают решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Богданов И.И.

На стороне AB треугольника ABC выбраны точки C₁ и C₂. Аналогично на стороне BC выбраны точки A₁ и A₂, а на стороне AC – точки B₁ и B₂. Оказалось, что отрезки A₁B₂, B₁C₂ и C₁A₂ имеют равные длины, пересекаются в одной точке, и угол между каждыми двумя из них равен 60°. Докажите, что .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]