Страница:
<< 2 3 4 5
6 7 8 >> [Всего задач: 48]
Задача
64637
(#11.4)
|
|
Сложность: 4 Классы: 10,11
|
Плоскость α пересекает рёбра AB, BC, CD и DA треугольной пирамиды ABCD в точках K, L, M и N соответственно. Оказалось, что двугранные углы
∠(KLA, KLM), ∠(LMB, LMN), ∠(MNC, MNK) и ∠(NKD, NKL) равны. (Через ∠(PQR, PQS) обозначается двугранный угол при ребре PQ в тетраэдре PQRS.) Докажите, что проекции вершин A, B, C и D на плоскость α лежат на одной окружности.
Задача
64764
(#9.4)
|
|
Сложность: 4 Классы: 8,9,10
|
Точка M – середина стороны AC остроугольного треугольника ABC, в котором AB > BC. Касательные к описанной окружности Ω треугольника ABC, проведённые в точках A и C, пересекаются в точке P. Отрезки BP и AC пересекаются в точке S. Пусть AD – высота треугольника BP. Описанная окружность ω треугольника CSD второй раз пересекает окружность Ω в точке K. Докажите, что ∠CKM = 90°.
Задача
64772
(#10.4)
|
|
Сложность: 4+ Классы: 9,10,11
|
Треугольник ABC (AB > BC) вписан в окружность Ω. На сторонах AB и BC выбраны точки M и N соответственно так, что AM = CN. Прямые MN и AC пересекаются в точке K. Пусть P – центр вписанной окружности треугольника AMK, а Q – центр вневписанной окружности треугольника CNK, касающейся стороны CN. Докажите, что середина дуги ABC окружности Ω равноудалена от точек P и Q.
Задача
64772
(#11.4)
|
|
Сложность: 4+ Классы: 9,10,11
|
Треугольник ABC (AB > BC) вписан в окружность Ω. На сторонах AB и BC выбраны точки M и N соответственно так, что AM = CN. Прямые MN и AC пересекаются в точке K. Пусть P – центр вписанной окружности треугольника AMK, а Q – центр вневписанной окружности треугольника CNK, касающейся стороны CN. Докажите, что середина дуги ABC окружности Ω равноудалена от точек P и Q.
Задача
64622
(#9.5)
|
|
Сложность: 3+ Классы: 8,9,10
|
Число x таково, что среди четырёх чисел ровно одно не является целым.
Найдите все такие x.
Страница:
<< 2 3 4 5
6 7 8 >> [Всего задач: 48]