Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64782  (#11.6)

Темы:   [ Сфера, описанная около тетраэдра ] [ Сферы (прочее) ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Сфера ω проходит через вершину S пирамиды SABC и пересекает рёбра SA, SB и SC вторично в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. Сфера Ω, описанная около пирамиды SABC, пересекается с ω по окружности, лежащей в плоскости, параллельной плоскости (ABC). Точки A₂, B₂ и C₂ симметричны точкам A₁, B₁ и C₁ относительно середин рёбер SA, SB и SC соответственно. Докажите, что точки A, B, C, A₂, B₂ и C₂ лежат на одной сфере.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64624  (#9.7)

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Средняя линия треугольника ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Лучи AB и DC пересекаются в точке K. Оказалось, что точки B, D, а также середины M и N отрезков AC и KC лежат на одной окружности. Какие значения может принимать угол ADC?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64632  (#10.7)

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Четность и нечетность ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

По кругу стоят 10¹⁰⁰⁰ натуральных чисел. Между каждыми двумя соседними числами записали их наименьшее общее кратное.
Могут ли эти наименьшие общие кратные образовать 10¹⁰⁰⁰ последовательных чисел (расположенных в каком-то порядке)?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64640  (#11.7)

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Неравенства. Метод интервалов ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Дан многочлен  P(x) = a_2nx²ⁿ + a_2n–1x^2n–1 + ... + a₁x + a₀,  у которого каждый коэффициент a_i принадлежит отрезку  [100, 101].
При каком минимальном натуральном n у такого многочлена может найтись действительный корень?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64783  (#11.7)

Темы:   [ Многочлены (прочее) ] [ Процессы и операции ] [ Вычисление производной ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Исходно на доске написаны многочлены  x³ – 3x² + 5  и  x² – 4x.  Если на доске уже написаны многочлены  f(x) и g(x), разрешается дописать на неё многочлены  f(x) ± g(x),  f(x)g(x),  f(g(x))  и  cf(x),  где c – произвольная (не обязательно целая) константа. Может ли на доске после нескольких операций появиться многочлен вида  xⁿ – 1  (при натуральном n)?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями