Каталог по источникам

Выбрано 14 задач

В четырёхугольнике ABCD сторона AB равна диагонали AC и перпендикулярна стороне AD, а диагональ AC перпендикулярна стороне CD. На стороне AD взята такая точка K , что AC = AK. Биссектриса угла ADC пересекает BK в точке M. Найдите угол ACM.

Решение

Человек имеет 10 друзей и в течение нескольких дней приглашает некоторых из них в гости так, что компания ни разу не повторяется (в какой-то из дней он может не приглашать никого). Сколько дней он может так делать?

Решение

В вершинах правильных многоугольников записываются числа 1 и 2. Сколько существует таких многоугольников, что сумма чисел, стоящих в вершинах, равна n ( n $\geqslant$ 3)? Две расстановки чисел, которые можно совместить поворотом, не отождествляются.

Решение

Сколькими способами можно переставить буквы слова "ЭПИГРАФ" так, чтобы и гласные, и согласные шли в алфавитном порядке?

Решение

Докажите, что число Фибоначчи F_n совпадает с ближайшим целым числом к , то есть F_n = + .

Решение

Докажите следующий вариант формулы Бине:

Решение

Из 12 девушек и 10 юношей выбирают команду, состоящую из пяти человек.
Сколькими способами можно выбрать эту команду так, чтобы в нее вошло не более трёх юношей?

Решение

Сколько слов можно составить из пяти букв А и не более чем из трёх букв Б?

Решение

Кубик бросают трижды. Среди всех возможных последовательностей результатов есть такие, в которых хотя бы один раз встречается шестёрка. Сколько их?

Решение

Решите в целых числах уравнения: а) x² – xy – y² = 1; б) x² – xy – y² = –1.

Решение

В Тридевятом царстве лишь один вид транспорта – ковер-самолет. Из столицы выходит 21 ковролиния, из города Дальний – одна, а из всех остальных городов – по 20. Докажите, что из столицы можно долететь в Дальний (возможно, с пересадками).

Решение

Фибоначчиева система счисления. Докажите, что произвольное натуральное число n, не превосходящее F_m, единственным образом можно представит в виде

n = $\displaystyle \sum\limits_{k=2}^{m}$ b_kF_k,

где все числа b₂, ..., b_m равны 0 либо 1, причем среди этих чисел нет двух единиц стоящих рядом, то есть b_kb_{k + 1} = 0 (2 $\leqslant$ k $\leqslant$ m - 1). Для записи числа в фибоначчиевой системе счисления используется обозначение:

n = (b_k...b₂)_F.

Решение

Докажите по индукции формулу Бине:

F_n = $\displaystyle {\dfrac{\varphi^n-\widehat{\varphi}^{n}}{\sqrt5}}$ ,

где $\varphi$ = ${\dfrac{1+\sqrt5}{2}}$ — ``золотое сечение'' или число Фидия, а $\widehat{\varphi}$ = ${\dfrac{1-\sqrt5}{2}}$ (``фи с крышкой'') — сопряженное к нему.

Решение

Автор: Шаповалов А.В.

Среди 100 монет есть четыре фальшивых. Все настоящие монеты весят одинаково, фальшивые – тоже, фальшивая монета легче настоящей.
Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь найти хотя бы одну настоящую монету?

Решение

Задача 65083