Версия для печати
Убрать все задачи

---

Можно ли расположить на плоскости 1000 отрезков так, чтобы каждый отрезок обоими своими концами упирался строго внутрь других отрезков?

   Решение

---

Ученик Коля Васин при помощи метода математической индукции смог доказать, что в любом табуне все лошади одной масти.
Если есть только одна лошадь, то она своей масти, так что база индукции верна. Для индуктивного перехода предположим, что есть n лошадей (с номерами от 1 до n). По индуктивному предположению лошади с номерами от 1 до n - 1 одинаковой масти. Аналогично лошади с номерами от 2 до n также имеют одинаковую масть. Но лошади с номерами от 2 до n - 1 не могут менять свою масть в зависимости от того как они сгруппированы — это лошади, а не хамелеоны. Поэтому все n лошадей должны быть одинаковой масти.
Есть ли ошибка в этом рассуждении, и если есть, то какая?

   Решение

---

Куб со стороной 1 м распилили на кубики со стороной 1 см и положили их в ряд (по прямой). Какой длины оказался ряд?

   Решение

---

Незнайка хочет записать по кругу 2015 натуральных чисел так, чтобы для каждых двух соседних чисел частное от деления большего на меньшее было простым числом. Знайка утверждает, что это невозможно. Прав ли Знайка?

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 9]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65140  (#7.1)

Тема:   [ Задачи на проценты и отношения ]

Сложность: 3 Классы: 6,7

Три пирата делили мешок монет. Первый забрал ³/₇ всех монет, второй – 51% остатка, после чего третьему осталось на 8 монет меньше, чем получил второй. Сколько монет было в мешке?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65141  (#7.2)

Темы:   [ Наглядная геометрия ] [ Арифметика. Устный счет и т.п. ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7

Петя склеил бумажный кубик и записал на его гранях числа от 1 до 6 так, чтобы суммы чисел на любых двух противоположных гранях были одинаковыми. Вася хочет разрезать этот кубик так, чтобы получить развёртку, показанную на рисунке. При этом Вася старается, чтобы суммы чисел по горизонтали и по вертикали в этой развёртке отличались как можно меньше. Какая самая маленькая положительная разность может у него получиться, независимо от того, каким образом расставлял числа Петя?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65142  (#7.3)

Тема:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7

Из натуральных чисел от 1 до 100 выбрано 50 различных. Оказалось, что сумма никаких двух из них не равна 100.
Верно ли, что среди выбранных чисел всегда найдется квадрат какого-нибудь целого числа?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65143  (#7.4)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Четность и нечетность ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 6,7

Незнайка хочет записать по кругу 2015 натуральных чисел так, чтобы для каждых двух соседних чисел частное от деления большего на меньшее было простым числом. Знайка утверждает, что это невозможно. Прав ли Знайка?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65144  (#7.5)

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3 Классы: 6,7

Бумажный равносторонний треугольник перегнули по прямой так, что одна из вершин попала на противоположную сторону (см. рисунок).
Докажите, что углы двух белых треугольников соответственно равны.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 9]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями