Версия для печати
Убрать все задачи

---

Внутри окружности радиуса 1 расположена замкнутая ломаная (самопересекающаяся), содержащая 51 звено, причём известно, что длина каждого звена равна    .   Для каждого угла этой ломаной рассмотрим треугольник, двумя сторонами которого служат звенья ломаной, образующие этот угол (таких треугольников всего 51). Докажите, что сумма площадей этих треугольников не меньше, чем утроенная площадь правильного треугольника, вписанного в окружность.

   Решение

---

Диагонали AC и BD вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P. Точка Q выбрана на отрезке BC так, что  PQ ⊥ AC.
Докажите, что прямая, проходящая через центры описанных окружностей ω₁ и ω₂ треугольников APD и BQD, параллельна прямой AD.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65749  (#10.1)

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ] [ Степень вершины ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

В Национальной Баскетбольной Ассоциации 30 команд, каждая из которых проводит за год 82 матча с другими командами в регулярном чемпионате. Сможет ли руководство Ассоциации разделить команды (не обязательно поровну) на Восточную и Западную конференции и составить расписание игр так, чтобы матчи между командами из разных конференций составляли ровно половину от общего числа матчей?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65750  (#10.2)

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Диагонали AC и BD вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P. Точка Q выбрана на отрезке BC так, что  PQ ⊥ AC.
Докажите, что прямая, проходящая через центры описанных окружностей ω₁ и ω₂ треугольников APD и BQD, параллельна прямой AD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65751  (#10.3)

Темы:   [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Дан кубический многочлен  f(x). Назовём циклом такую тройку различных чисел  (a, b, c),  что  f(a) = b,  f(b) = c  и  f(c) = a.  Известно, что нашлись восемь циклов  (a_i, b_i, c_i),  i = 1, 2, ..., 8,  в которых участвуют 24 различных числа. Докажите, что среди восьми чисел вида  a_i + b_i + c_i  есть хотя бы три различных.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65752  (#10.4)

Темы:   [ Выпуклые многоугольники ] [ Доказательство от противного ] [ Теория игр (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Внутри выпуклого 100-угольника выбрана точка X, не лежащая ни на одной его стороне или диагонали. Исходно вершины многоугольника не отмечены. Петя и Вася по очереди отмечают ещё не отмеченные вершины 100-угольника, причём Петя начинает и первым ходом отмечает сразу две вершины, а далее каждый своим очередным ходом отмечает по одной вершине. Проигрывает тот, после чьего хода точка X будет лежать внутри многоугольника с отмеченными вершинами. Докажите, что Петя может выиграть, как бы ни ходил Вася.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65745  (#10.5)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Доказательство от противного ] [ Признаки делимости на 3 и 9 ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составлены девять (не обязательно различных) девятизначных чисел; каждая из цифр использована в каждом числе ровно один раз. На какое наибольшее количество нулей может оканчиваться сумма этих девяти чисел?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями