Версия для печати
Убрать все задачи
Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых
в виде p + n2k ни при каких простых p и целых n и k.
Решение
Вычислите
а) cos π/9 cos 4π/9 cos 7π/9;
б) cos π/7 + cos 3π/7 + cos 5π/7.
Решение
Число рёбер многогранника равно 100.
а) Какое наибольшее число рёбер может пересечь плоскость, не
проходящая через его вершины, если многогранник выпуклый?
б) Докажите, что для невыпуклого многогранника это число может
равняться 96,
в) но не может равняться 100.
Решение
Школьник едет на кружок на трамвае, платит рубль и получает сдачу. Доказать,
что если он обратно также поедет в трамвае, то он сможет уплатить за
проезд без сдачи. (Примечание. Проезд в трамвае стоил 30
коп. В обращении находились монеты достоинством в 1, 2, 3, 5, 10, 15 и 20 коп.)
Решение
Коля и Петя делят 2n + 1 орехов, n
2, причём каждый хочет получать
возможно больше. Предполагаются три способа дележа (каждый проходит в три
этапа).
1-й этап: Петя делит все орехи на две части, в каждой не меньше двух орехов.
2-й этап: Коля делит каждую часть снова на две, в каждой не меньше одного
ореха.
1-й и 2-й этапы общие для всех трёх способов.
3-й этап: При первом способе Коля берёт большую и меньшую части;
При втором способе Коля берёт обе средние части;
При третьем способе Коля берёт либо большую и меньшую части, либо обе средние
части, но за право выбора отдаёт Пете один орех.
Определить, какой способ самый выгодный для Коли и какой наименее выгоден для
него.
Решение
Известно, что значения выражений b/a и b/c находятся в интервале (–0,9, –0,8). В каком интервале лежат значения выражения c/a?
Решение
Фильтр
