Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]

Задача 66152 (#9.6)

Темы:	[	Квадратный трехчлен (прочее)	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Храбров А.

Верно ли, что для любых трёх различных натуральных чисел a, b и c найдётся квадратный трёхчлен с целыми коэффициентами и положительным старшим коэффициентом, принимающий в некоторых целых точках значения a³, b³ и c³?

Прислать комментарий

Решение

Задача 66160 (#10.6)

Темы:	[	Многочлены (прочее)	]
	[	Алгебраические задачи на неравенство треугольника	]
	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Авторы: Агаханов Н.Х., Подлипский О.К.

Пусть P(x) – многочлен степени n ≥ 2 с неотрицательными коэффициентами, а a, b и c – длины сторон некоторого остроугольного треугольника.
Докажите, что числа также являются длинами сторон некоторого остроугольного треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66167 (#11.6)

Темы:	[	Шахматные доски и шахматные фигуры	]
Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Богданов И.И.

В некоторых клетках квадрата 200×200 стоит по одной фишке – красной или синей; остальные клетки пусты. Одна фишка видит другую, если они находятся в одной строке или одном столбце. Известно, что каждая фишка видит ровно пять фишек другого цвета (и, возможно, некоторое количество фишек своего цвета). Найдите наибольшее возможное количество фишек.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66153 (#9.7)

Темы:	[	Биссектриса угла	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Кузнецов А.

Неравнобедренный треугольник ABC, в котором ∠C = 60°, вписан в окружность Ω. На биссектрисе угла A выбрана точка A', а на биссектрисе угла B – точка B' так, что AB' || BC и B'A || AC. Прямая A'B' пересекает Ω в точках D и E. Докажите, что треугольник CDE равнобедренный.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66154 (#10.7)

Темы:	[	Шахматные доски и шахматные фигуры	]
	[	Раскраски	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Антипов М.

Каждая клетка доски 100×100 окрашена либо в чёрный, либо в белый цвет, причём все клетки, примыкающие к границе доски – чёрные. Оказалось, что нигде на доске нет одноцветного клетчатого квадрата 2×2. Докажите, что на доске найдётся клетчатый квадрат 2×2, клетки которого окрашены в шахматном порядке.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]