На сторонах AB, BC, CD и DA выпуклого четырехугольника ABCD взяты точки K, L, M и N соответственно, причем AK : KB = DM : MC = и  BL : LC = AN : ND = . Пусть P — точка пересечения отрезков KM и LN. Докажите, что NP : PL = и  KP : PM = .

   Решение

Построить выпуклый четырёхугольник, зная длины всех сторон и отрезка, соединяющего середины диагоналей.

   Решение

Десяти ребятам положили в тарелки по 100 макаронин. Есть ребята не хотели и стали играть. Одним действием кто-то из детей перекладывает из своей тарелки по одной макаронине всем другим детям. После какого наименьшего количества действий у всех в тарелках может оказаться разное количество макаронин?

   Решение

Внутри цилиндра лежат два шара радиуса r и один шар радиуса 2r так, что каждый шар касается двух других, верхнего основания цилиндра и его боковой поверхности. Найдите радиус основания цилиндра.

   Решение

В прямоугольном треугольнике ABC отрезок BH является высотой, опущенной на гипотенузу, а точка L делит отрезок HC пополам. Найдите угол LBC, если известно, что AH = , а BL = 3

   Решение

Решите ребус:  АХ×УХ = 2001.

   Решение

Решите ребус:  БАО×БА×Б = 2002.

   Решение

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁. Докажите, что площадь одного из треугольников  AB₁C₁, A₁BC₁, A₁B₁C не превосходит:
а) S_ABC/4;
б)  S_A1B1C1.

   Решение

Три шара, среди которых имеется два одинаковых, касаются плоскости P и, кроме того, попарно касаются друг друга. Вершина прямого кругового конуса принадлежит плоскости P , а ось конуса перпендикулярна к этой плоскости. Все три шара лежат вне конуса, причем каждый из них касается некоторой образующей конуса. Найдите косинус угла между образующей конуса и плоскостью P , если известно, что в треугольнике с вершинами в точках касания шаров с плоскостью P величина одного из углов равна 150^o .

   Решение

Даны точки A(2;4), B(6; - 4) и C(- 8; - 1). Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

   Решение

Докажите, что если в треугольной пирамиде сумма длин противоположных рёбер одна и та же для любой пары таких рёбер, то вершины этой пирамиды являются центрами четырёх шаров, попарно касающихся друг друга.

   Решение

Сто медвежат нашли в лесу ягоды: самый младший успел схватить 1 ягоду, медвежонок постарше – 2 ягоды, следующий – 4 ягоды, и так далее, самому старшему досталось 2⁹⁹ ягод. Лиса предложила им поделить ягоды "по справедливости". Она может подойти к двум медвежатам и распределить их ягоды поровну между ними, а если при этом возникает лишняя ягода, то лиса её съедает. Такие действия она продолжает до тех пор, пока у всех медвежат не станет ягод поровну. Какое наибольшее количество ягод может съесть лиса?

   Решение

Найдите все такие нечётные натуральные  n > 1,  что для любых взаимно простых делителей a и b числа n число  a + b – 1  также является делителем n.

   Решение

В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C опущена высота CD . Проекция отрезка BD на катет BC равна l , а проекция отрезка AD на катет AC равна m . Найдите гипотенузу AB .

   Решение

Даны 10 чисел:  а₁ < а₂ < ... < а₁₀.  Сравните среднее арифметическое этих чисел со средним арифметическим первых шести чисел.

   Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 15]      

Саша спускался по лестнице из своей квартиры к другу Коле, который живет на первом этаже. Когда он спустился на несколько этажей, оказалось, что он прошёл треть пути. Когда он спустился ещё на один этаж, ему осталось пройти половину пути. На каком этаже живёт Саша?

Прислать комментарий

Решение

На наибольшей стороне AB треугольника ABC взяли такие точки P и Q, что  AQ = AC,  BP = BC.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника PQC совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Дима пишет подряд натуральные числа: 123456789101112... .
На каких местах, считая от начала, в первый раз будут стоять три цифры 5 подряд?

Прислать комментарий

Решение

Даны 10 чисел:  а₁ < а₂ < ... < а₁₀.  Сравните среднее арифметическое этих чисел со средним арифметическим первых шести чисел.

Прислать комментарий

Решение

Можно ли разрезать треугольник на три выпуклых многоугольника с попарно различным количеством сторон?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 15]