Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что произведение любых пяти последовательных чисел делится   а) на 30;   б) на 120.

   Решение

---

Докажите, что около пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда около основания этой пирамиды можно описать окружность.

   Решение

---

Сложите шесть спичек так, чтобы они образовали четыре равносторонних треугольника.

   Решение

---

На антарктической станции n полярников, все разного возраста. С вероятностью p между каждыми двумя полярниками завязываются дружеские отношения, независимо от других симпатий или антипатий. Когда зимовка заканчивается и наступает пора разъезжаться по домам, в каждой паре друзей старший даёт младшему дружеский совет. Найдите математическое ожидание числа тех, кто так и не получил ни одного дружеского совета.

   Решение

---

Пусть R₁, R₂ и R₃ – радиусы трёх окружностей, каждая из которых проходит через вершину треугольника и касается противолежащей стороны.
Докажите, что  ¹/_R1 + ¹/_R2 + ¹/_R3 ≤ ¹/_r,  где r – радиус вписанной окружности этого треугольника.

   Решение

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 15]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66353  (#11.2.3)

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Разные задачи на разрезания ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Из клетчатой доски размером 8×8 выпилили восемь прямоугольников размером 2×1. После этого из оставшейся части требуется выпилить квадрат размером 2×2. Обязательно ли это удастся?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66354  (#11.3.1)

Тема:   [ Функции. Непрерывность (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Для всех действительных x и y выполняется равенство  f(x² + y) = f(x) + f(y²).  Найдите  f(–1).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66355  (#11.3.2)

Темы:   [ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ] [ Хорды и секущие (прочее) ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Пусть R₁, R₂ и R₃ – радиусы трёх окружностей, каждая из которых проходит через вершину треугольника и касается противолежащей стороны.
Докажите, что  ¹/_R1 + ¹/_R2 + ¹/_R3 ≤ ¹/_r,  где r – радиус вписанной окружности этого треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66356  (#11.3.3)

Темы:   [ Средние величины ] [ Количество и сумма делителей числа ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Докажите, что среднее арифметическое всех делителей натурального числа n лежит на отрезке  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66357  (#11.4.1)

Тема:   [ Иррациональные неравенства ]

Сложность: 2 Классы: 8

Известно, что     где  x > 0,  y > 0,  z > 0.  Докажите, что  

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 15]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями