Страница:
<< 1 2 3 4 5 6 [Всего задач: 29]
Задача
66471
(#6)
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
|
На сторонах выпуклого шестиугольника ABCDEF во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники ABC1, BCD1, CDE1, DEF1, EFA1 и FAB1. Оказалось, что треугольник B1D1F1 – равносторонний. Докажите, что треугольник A1C1E1 также равносторонний.
Задача
66477
(#6)
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
|
На олимпиаду пришло 2018 участников, некоторые
из них знакомы между собой. Будем говорить, что несколько попарно знакомых участников образуют "кружок", если любой другой участник олимпиады не знаком с кем-то
из них. Докажите, что можно рассадить всех участников
олимпиады по 90 аудиториям так, что ни в какой аудитории не будут сидеть все представители какого-либо "кружка".
Задача
66483
(#6)
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
|
Докажите, что количество способов разрезать квадрат $999 \times 999$ на уголки из трёх клеток делится на $2^7$.
Задача
66489
(#6)
|
|
Сложность: 6
Классы: 8,9,10,11
|
В доме из $2^n$ комнат сделали евроремонт. При этом выключатели света оказались перепутанными, так что при включении выключателя в одной комнате загорается лампочка, вообще говоря, в какой-то другой комнате. Чтобы узнать, какой выключатель к какой комнате подсоединён, прораб посылает несколько людей в какие-то комнаты, чтобы те, одновременно включив там выключатели, вернулись и сообщили ему, горела лампочка в их комнате или нет.
а) Докажите, что за $2n$ таких посылок прораб может установить соответствие между выключателями и комнатами.
б) А может ли он обойтись $2n-1$ такими посылками?
Страница:
<< 1 2 3 4 5 6 [Всего задач: 29]
Фильтр
Решение
