Версия для печати
Убрать все задачи
В некотором городе разрешаются только парные обмены квартир (если две семьи
обмениваются квартирами, то в тот же день они не имеют права участвовать в
другом обмене). Докажите, что любой сложный обмен квартирами можно осуществить за два дня.
(Предполагается, что при любых обменах каждая семья как до, так и после обмена занимает одну квартиру, и что семьи при этом сохраняются).
Решение
Последовательность из двух различных чисел продолжили двумя способами: так, чтобы
получилась геометрическая прогрессия, и так, чтобы получилась арифметическая прогрессия. При
этом третий член геометрической прогрессии совпал с десятым членом арифметической прогрессии.
А с каким членом арифметической прогрессии совпал четвёртый член геометрической
прогрессии?
Решение
По кругу расставлены 99 натуральных чисел. Известно, что каждые два соседних числа отличаются или на 1, или на 2, или в два раза.
Докажите, что хотя бы одно из этих чисел делится на 3.
Решение
На плоскости дано
n
3 точек. Пусть
d — наибольшее
расстояние между парами этих точек. Докажите, что имеется
не более
n пар точек, расстояние между которыми равно
d.
Решение
Для любого треугольника можно вычислить сумму квадратов тангенсов половин его углов. Докажите, что эта сумма
а) меньше 2 для любого остроугольного треугольника;
б) не меньше 2 для любого тупоугольного треугольника, величина тупого угла которого больше или равна 2 arctg 4/3; а среди треугольников с тупым углом, меньшим 2 arctg 4/3, имеются и такие, сумма квадратов тангенсов половин углов которых больше 2, и такие, сумма квадратов тангенсов половин углов которых меньше 2.
Решение
Фильтр
