Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 3]

Задача 34846 (#М267)

Темы:	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

В последовательности троек целых чисел (2, 3, 5), (6, 15, 10), ... каждая тройка получается из предыдущей таким образом: первое число умножается на второе, второе – на третье, а третье – на первое, и полученные произведения дают новую тройку. Докажите, что ни одно из чисел, получаемых таким образом, не будет степенью целого числа: квадратом, кубом и т.д.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73803 (#М268)

Темы:	[	Шахматные доски и шахматные фигуры	]
Темы:	[	Теория игр (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Автор: Кацыло П.

В углу шахматной доски стоит фигура. Первый игрок может ходить ею два раза подряд как обычным конём (на два поля в одном направлении и на одно – в перпендикулярном), а второй – один раз как конём с удлинённым ходом (на три поля в одном направлении и на одно – в перпендикулярном). Так они ходят по очереди. Первый стремится к тому, чтобы поставить фигуру в противоположный угол, а второй – ему помешать. Кто из них выигрывает (размеры доски – n×n, где n > 3)?

Прислать комментарий

Решение

Задача 73804 (#М269)

[Числа Стирлинга]

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Автор: Ясиновый Э.А.

Обозначим через T_k(n) сумму произведений по k чисел от 1 до n. Например,    T₂(4) = 1·2 + 1·3 + 1·4 + 2·3 + 2·4 + 3·4.
   а) Найдите формулы для T₂(n) и T₃(n).
   б) Докажите, что T_k(n) является многочленом от n степени 2k.
   в) Укажите метод нахождения многочленов T_k(n) при k = 2, 3, 4, ... и примените его для отыскания многочленов T₄(n) и T₅(n).

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 3]