Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Олимпиады и турниры >> Московская математическая олимпиада >> 1941 год
Варианты:
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 21 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

а) В треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1 и CC1. Прямые AB и A1B1, BC и B1C1, CA и C1A1 пересекаются в точках C', A' и B'. Докажите, что точки A', B' и C' лежат на радикальной оси окружности девяти точек и описанной окружности.
б) Биссектрисы внешних углов треугольника ABC пересекают продолжения противоположных сторон в точках A', B' и C'. Докажите, что точки A', B' и C' лежат на одной прямой, причем эта прямая перпендикулярна прямой, соединяющей центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.

Вниз   Решение

Докажите, что диагонали AD, BE и CF описанного шестиугольника ABCDEF пересекаются в одной точке (Брианшон).

ВверхВниз   Решение

Даны окружность S и прямая l, не имеющие общих точек. Из точки P, движущейся по прямой l, проводятся касательные PA и PB к окружности S. Докажите, что все хорды AB имеют общую точку.



ВверхВниз   Решение

Некоторое количество точек расположено на плоскости так, что каждые 3 из них можно заключить в круг радиуса r = 1. Доказать, что тогда и все точки можно заключить в круг радиуса 1.

ВверхВниз   Решение

На сторонах BC и AC треугольника ABC взяты точки A1 и B1; l — прямая, проходящая через общие точки окружностей с диаметрами AA1 и BB1. Докажите, что:
а) прямая l проходит через точку H пересечения высот треугольника ABC;
б) прямая l тогда и только тогда проходит через точку C, когда  AB1 : AC = BA1 : BC.

ВверхВниз   Решение

Автор: Емельянов Л.А.

Докажите, что сумма двух нагелиан больше полупериметра треугольника.

ВверхВниз   Решение

Найти такие отличные от нуля неравные между собой целые числа a, b, c, чтобы выражение  x(x – a)(x – b)(x – c) + 1  разлагалось в произведение двух многочленов (ненулевой степени) с целыми коэффициентами.

ВверхВниз   Решение

Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 16. Найдите высоту, проведённую из вершины прямого угла.

ВверхВниз   Решение

Решите задачу 1.67, используя свойства радикальной оси.

ВверхВниз   Решение

Автор: Шаповалов А.В.

Все члены бесконечной арифметической прогрессии – натуральные числа. В каждом члене удалось подчеркнуть одну или несколько подряд идущих цифр так, что в первом члене оказалась подчёркнута цифра 1, во втором – 2,..., в 23-м – цифры 2 и 3 подряд, и так далее (для любого натурального n в n-м члене подчёркнутые цифры образовали число n). Докажите, что разность прогрессии – степень числа 10.

ВверхВниз   Решение

У равнобедренного треугольника стороны равны 3 и 7. Какая из сторон является основанием?

ВверхВниз   Решение

Сумма вычитаемого, уменьшаемого и разности равна 2016. Найдите уменьшаемое.

ВверхВниз   Решение

Даны две неконцентрические окружности S1 и S2. Докажите, что множеством центров окружностей, пересекающих обе эти окружности под прямым углом, является их радикальная ось, из которой (если данные окружности пересекаются) выброшена их общая хорда.

ВверхВниз   Решение

Пусть углы $ \alpha$, $ \beta$, $ \gamma$ таковы, что 0 < $ \alpha$,$ \beta$,$ \gamma$ < $ \pi$ и  $ \alpha$ + $ \beta$ + $ \gamma$ = $ \pi$. Докажите, что если композиция поворотов RC2$\scriptstyle \gamma$oRB2$\scriptstyle \beta$oRA2$\scriptstyle \alpha$ является тождественным преобразованием, то углы треугольника ABC равны $ \alpha$, $ \beta$, $ \gamma$.

ВверхВниз   Решение

Пусть связный плоский граф с V вершинами и E рёбрами разрезает плоскость на F кусков. Докажите формулу Эйлера:  V – E + F = 2.

ВверхВниз   Решение

Внутри выпуклого четырехугольника ABCD построены равнобедренные прямоугольные треугольники ABO1, BCO2, CDO3 и DAO4. Докажите, что если O1 = O3, то O2 = O4.

ВверхВниз   Решение

При каких a многочлен  P(x) = a³x5 + (1 – a)x4 + (1 + a³)x² + (1 – 3a)x – a³  делится на  x – 1?

ВверхВниз   Решение

Автор: Женодаров Р.Г.

В ряд стоят 23 коробочки с шариками, причём для каждого числа n от 1 до 23 есть коробочка, в которой ровно n шариков. За одну операцию можно переложить в любую коробочку еще столько же шариков, сколько в ней уже есть, из какой-нибудь другой коробочки, в которой шариков больше. Всегда ли можно такими операциями добиться, чтобы в первой коробочке оказался 1 шарик, во второй – 2 шарика, ..., в 23-й – 23 шарика?

ВверхВниз   Решение

а) В графе есть эйлеров путь. Доказать, что граф связен и вершин с нечётной степенью в нём не больше двух.
б) Доказать обратное: если в связном графе вершин с нечётной степенью не больше двух, то в нём есть эйлеров путь.

ВверхВниз   Решение

Внутри выпуклого многоугольника расположено несколько попарно непересекающихся кругов различных радиусов. Докажите, что многоугольник можно разрезать на маленькие многоугольники так, чтобы все они были выпуклыми и в каждом из них содержался ровно один из данных кругов.

ВверхВниз   Решение

Доказать, что из 5 попарно различных по величине квадратов нельзя сложить прямоугольник.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 21]      

  с решениями  

Задача 76500

Тема:   [ Построения с помощью вычислений ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Построить прямоугольный треугольник по двум медианам, проведённым к катетам.
Прислать комментарий     Решение

Задача 109152

Темы:   [ Тригонометрические уравнения ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Сколько корней имеет уравнение sin x=x/100 ?
Прислать комментарий     Решение

Задача 76489

Тема:   [ Разные задачи на разрезания ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

Доказать, что из 5 попарно различных по величине квадратов нельзя сложить прямоугольник.
Прислать комментарий     Решение

Задача 76497

Темы:   [ Разложение на множители ]
[ Методы решения задач с параметром ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Найти такие отличные от нуля неравные между собой целые числа a, b, c, чтобы выражение  x(x – a)(x – b)(x – c) + 1  разлагалось в произведение двух многочленов (ненулевой степени) с целыми коэффициентами.

Прислать комментарий     Решение

Задача 76495

Тема:   [ Разные задачи на разрезания ]
Сложность: 6
Классы: 10,11

Доказать, что из шести попарно различных по величине квадратов нельзя сложить прямоугольник.
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 21]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .