ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Олимпиады и турниры >> Московская математическая олимпиада >> 1946 год >> 9,10 класс, 1 тур
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Через точку A, лежащую внутри угла, проведена прямая, отсекающая от этого угла наименьший по площади треугольник. Доказать, что отрезок этой прямой, заключённый между сторонами угла, делится в точке A пополам.

   Решение

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

  с решениями  

Задача 76522  (#1)

Темы:   [ Углы между прямыми и плоскостями ]
[ Задачи на максимум и минимум (прочее) ]
[ Ортогональная проекция (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

В пространстве даны две пересекающиеся плоскости $ \alpha$ и $ \beta$. На линии их пересечения дана точка A. Доказать, что из всех прямых, лежащих в плоскости $ \alpha$ и проходящих через точку A, наибольший угол с плоскостью $ \beta$ образует та, которая перпендикулярна к линии пересечения плоскостей $ \alpha$ и $ \beta$.
Прислать комментарий     Решение

Задача 76523  (#2)

Тема:   [ Угол (экстремальные свойства) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Через точку A, лежащую внутри угла, проведена прямая, отсекающая от этого угла наименьший по площади треугольник. Доказать, что отрезок этой прямой, заключённый между сторонами угла, делится в точке A пополам.
Прислать комментарий     Решение

Задача 76524  (#3)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Доказать, что  n² + 3n + 5  ни при каком целом n не делится на 121.

Прислать комментарий     Решение

Задача 76525  (#4)

Тема:   [ Арифметические действия. Числовые тождества ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Доказать, что для любого натурального n справедливо соотношение:

$\displaystyle {\frac{(2n)!}{n!}}$ = 2n . (2n - 1)!!

Прислать комментарий     Решение

Задача 76526  (#5)

Тема:   [ Тригонометрические неравенства ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Доказать, что если $ \alpha$ и $ \beta$ — острые углы и $ \alpha$ < $ \beta$, то

$\displaystyle {\frac{{\rm tg}\alpha}{\alpha}}$ < $\displaystyle {\frac{{\rm tg}\beta}{\beta}}$.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .