Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Олимпиады и турниры >> Московская математическая олимпиада >> 1948 год
Варианты:
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 6 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Про многочлен   f(x) = x10 + a9x9 + ... + a0  известно, что   f(1) = f(–1),  ...,   f(5) = f(–5).  Докажите, что   f(x) = f(– x)  для любого действительного x.

Вниз   Решение

Автор: Сергеев И.Н.

Докажите, что если в выпуклом пятиугольнике ABCDE  ABC = ∠ADE  и ∠AEC = ∠ADB,  то  ∠BAC = ∠DAE.

ВверхВниз   Решение

Автор: Пеллер В.Б.

Известно, что разность между наибольшим и наименьшим из чисел x1, x2, x3, ..., x9, x10 равна 1. Какой  а) наибольшей;  б) наименьшей может быть разность между наибольшим и наименьшим из 10 чисел x1,  ½ (x1 + x2),  ⅓ (x1 + x2 + x3),  ...,  1/10 (x1 + x2 + ... + x10)?
в) Каков будет ответ, если чисел не 10, а n?

ВверхВниз   Решение

Один путник шел первые полпути со скоростью 4 км/ч, а вторые полпути со скоростью 6 км/ч. Другой путник шел первую половину времени со скоростью со скоростью 4км/ч, а вторую половину времени со скоростью 6 км/ч. С какой постоянной скоростью должен был бы идти каждый из них, чтобы затратить на свое путешествие то же самое время?

ВверхВниз   Решение

В треугольнике ABC точка D лежит на стороне BC, а точка O — на отрезке AD. Известно, что точки C, D и O лежат на окружности, центр которой находится на стороне AC, AC = 2$ \sqrt{2}$AB, угол DAC в два раза больше угла BAD, а угол OCA в два раза меньше угла OCB. Найдите косинус угла ACB.

ВверхВниз   Решение

Сумма обратных величин трёх натуральных чисел равна 1. Каковы эти числа?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 13]      

  с решениями  

Задача 77869

Темы:   [ Индукция в геометрии ]
[ Плоскость, разрезанная прямыми ]
[ Раскраски ]
Сложность: 2+
Классы: 7,8,9

На плоскости проведено n прямых линий. Доказать, что области, на которые эти прямые разбивают плоскость, можно так закрасить двумя красками (каждая область закрашивается только одной краской), что никакие две соседние области (т.е. области, соприкасающиеся только по отрезку прямой) не будут закрашены одной и той же краской.
Прислать комментарий     Решение

Задача 77867

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Перебор случаев ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Сумма обратных величин трёх натуральных чисел равна 1. Каковы эти числа?

Прислать комментарий     Решение

Задача 77870

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10

Если число     – целое, то и число     – целое. Доказать.

Прислать комментарий     Решение

Задача 77878

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Неравенства с модулями ]
[ Арифметическая прогрессия ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Сколько различных целочисленных решений имеет неравенство  |x| + |y| < 100?

Прислать комментарий     Решение

Задача 77868

Темы:   [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]
[ Десятичная система счисления ]
[ Произведения и факториалы ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Сколько цифр имеет число 2100?

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 13]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .