Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Московская математическая олимпиада
>>
1957 год
>>
8 класс, 1 тур
Фильтр
Выбрано 12 задач Убрать все задачи
Докажите, что если выпуклый четырёхугольник ABCD можно разрезать на два подобных четырёхугольника, то ABCD – трапеция или параллелограмм.
В квадрате со стороной 1 проведено конечное число отрезков,
параллельных его сторонам, причем эти отрезки могут пересекать
друг друга. Сумма длин отрезков равна 18. Докажите, что площадь
одной из частей, на которые разбит квадрат, не меньше 0,01.
Натуральные числа p и q взаимно просты. Отрезок [0, 1] разбит на p + q одинаковых отрезков.
Докажите, что в каждом из этих отрезков, кроме двух крайних лежит ровно одно из p + q – 2 чисел 1/p, 2/p, ..., p–1/p, 1/q, 2/q, ..., q–1/q.
Докажите, что следующие свойства выпуклого многоугольника F
эквивалентны: 1) F имеет центр симметрии;
2) F можно разрезать на параллелограммы.
Разрежьте произвольный треугольник на части, из которых можно составить треугольник, симметричный исходному относительно некоторой прямой (части переворачивать нельзя).
Правильный восьмиугольник со стороной 1 разрезан
на параллелограммы. Докажите, что среди них есть по
крайней мере два прямоугольника, причем сумма площадей
всех прямоугольников равна 2.
а) Докажите, что любой неравносторонний треугольник можно
разрезать на неравные треугольники, подобные исходному.
б) Докажите, что правильный треугольник нельзя разрезать на
неравные правильные треугольники.
Существует ли треугольник, который можно разрезать: а) на 3 равных треугольника, подобных исходному?; б)
на 5 треугольников, подобных исходному (не обязательно равных)?
Докажите, что если в наборе целых чисел a1, ..., an хотя бы одно отлично от 0, то они имеют наибольший общий делитель.
По кругу расставлены 2005 натуральных чисел.
Доказать, что найдутся два соседних числа, после выкидывания которых оставшиеся числа нельзя разбить на две группы с равной суммой.
Школьник едет на олимпиаду на метро, платит рубль и получает сдачу. Доказать, что если он обратно поедет на трамвае, то он сможет уплатить за проезд без сдачи. (Проезд в метро стоил 50 коп., в трамвае – 30 коп. В обращении находились монеты достоинством в 1, 2, 3, 5, 10, 15 и 20 коп.)
Из всех параллелограммов данной площади найти тот, у которого наибольшая диагональ минимальна.
Задачи Страница: 1 [Всего задач: 5]
Задача 78098 (#1) |
|
|
Найти геометрическое место четвёртых вершин прямоугольников, три вершины которых лежат на двух данных концентрических окружностях, а стороны параллельны двум данным прямым.
|
|
Решение |
Задача 30310 (#2) |
|
|
Улитка ползёт по плоскости с постоянной скоростью, каждые 15 минут поворачивая под прямым углом.
Докажите, что вернуться в исходную точку она сможет лишь через целое число часов.
|
|
|
Решение |
Задача 78099 (#3) |
|
|
Из всех параллелограммов данной площади найти тот, у которого наибольшая диагональ минимальна.
|
|
Решение |
Задача 78100 (#4) |
|
|
В прямоугольной таблице произведение суммы чисел любого столбца на сумму чисел
любой строки равно числу, стоящему на их пересечении.
Доказать, что сумма всех чисел в таблице равна единице, или все числа равны нулю.
|
|
|
Решение |
Задача 78101 (#5) |
|
|
Известно, что ax4 + bx³ + cx² + dx + e, где a, b, c, d, e – данные целые числа, при любом целом x делится на 7.
Доказать, что все числа a, b, c, d, e делятся на 7.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 [Всего задач: 5]
