Версия для печати
Убрать все задачи

---

На прямой отмечено 2022 точки так, что каждые две соседние точки расположены на одинаковом расстоянии. Половина точек покрашена в красный цвет, а другая половина – в синий. Может ли сумма длин всевозможных отрезков, у которых левый конец красный, а правый – синий, равняться сумме длин всех отрезков, у которых левый конец синий, а правый – красный? (Концы рассматриваемых отрезков – не обязательно соседние отмеченные точки.)

   Решение

---

Будем называть клетчатый многоугольник выдающимся, если он не является прямоугольником и из нескольких его копий можно сложить подобный ему многоугольник. Например, уголок из трёх клеток – выдающийся многоугольник (см. рис.).

  а) Придумайте выдающийся многоугольник из четырёх клеток.
  б) При каких  n > 4  существует выдающийся многоугольник из n клеток?

   Решение

---

Как надо расположить числа 1, 2, ..., 1962 в последовательности a₁, a₂, ..., a₁₉₆₂, чтобы сумма  |a₁ – a₂| + |a₂ – a₃| + ... + |a₁₉₆₁ – a₁₉₆₂| + |a₁₉₆₂ – a₁|  была наибольшей?

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78292  (#1)

Темы:   [ Индукция в геометрии ] [ Выпуклые многоугольники ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Проведём в выпуклом многоугольнике некоторые диагонали так, что никакие две из них не пересекаются (из одной вершины могут выходить несколько диагоналей). Доказать, что найдутся по крайней мере две вершины многоугольника, из которых не проведено ни одной диагонали.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78293  (#2)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Наибольшая или наименьшая длина ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Как надо расположить числа 1, 2, ..., 1962 в последовательности a₁, a₂, ..., a₁₉₆₂, чтобы сумма  |a₁ – a₂| + |a₂ – a₃| + ... + |a₁₉₆₁ – a₁₉₆₂| + |a₁₉₆₂ – a₁|  была наибольшей?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78294  (#3)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Комбинаторика орбит ] [ Многоугольники (прочее) ] [ Правильные многоугольники ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

В окружность вписан неправильный n-угольник, который при повороте окружности около центра на некоторый угол  α ≠ 2π   совмещается сам с собой. Доказать, что n – число составное.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78295  (#4)

Темы:   [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Из чисел x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ можно образовать десять попарных сумм; обозначим их через a₁, a₂, ..., a₁₀. Доказать, что зная числа a₁, a₂, ..., a₁₀ (но не зная, разумеется, суммой каких именно двух чисел является каждое из них), можно восстановить числа x₁, x₂, x₃, x₄, x₅.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78296  (#5)

Темы:   [ Признаки и свойства касательной ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

Две окружности O₁ и O₂ пересекаются в точках M и P. Обозначим через MA хорду окружности O₁, касающуюся окружности O₂ в точке M, а через MB — хорду окружности O₂, касающуюся окружности O₁ в точке M. На прямой MP отложен отрезок PH = MP. Доказать, что четырёхугольник MAHB можно вписать в окружность.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями