Версия для печати
Убрать все задачи

---

Даны два треугольника A₁A₂A₃ и B₁B₂B₃. "Опишите" вокруг треугольника A₁A₂A₃ треугольник M₁M₂M₃ наибольшей площади, подобный треугольнику B₁B₂B₃ (вершина A₁ должна лежать на прямой M₂M₃, вершина A₂ – на прямой A₁A₃, вершина A₃ – на прямой A₁A₂).

   Решение

---

  а) Каждая сторона равностороннего треугольника разбита на m равных частей, и через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам, разрезавшие треугольник на m² маленьких треугольников. Среди вершин полученных треугольников нужно отметить N вершин так, чтобы ни для каких двух отмеченных вершин A и B отрезок АВ не был параллелен ни одной из сторон. Каково наибольшее возможное значение N (при заданном m)?

  б) Разделим каждое ребро тетраэдра на m равных частей и через точки деления проведём плоскости, параллельные граням. Среди вершин полученных многогранников отметим N вершин так, чтобы никакие две отмеченные вершины не лежали на прямой, параллельной одной из граней. Каково наибольшее возможное N?

  в) Среди решений уравнения  x₁ + x₂ + ... + x_k = m  в целых неотрицательных числах нужно выбрать N решений так, чтобы ни в каких двух из выбранных решений ни одна переменная x_i не принимала одного и того же значения. Чему равно наибольшее возможное значение N?

   Решение

---

a, b, c – такие три числа, что  abc > 0  и  a + b + c > 0.  Доказать, что  aⁿ + bⁿ + cⁿ > 0  при любом натуральном n.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78477  (#1)

Темы:   [ Арифметическая прогрессия ] [ Десятичная система счисления ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Первый член и разность арифметической прогрессии — натуральные числа. Доказать, что найдётся такой член прогрессии, в записи которого участвует цифра 9.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78481  (#2)

Тема:   [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Из любых шести точек на плоскости (из которых никакие три не лежат на одной прямой) можно так выбрать три, что треугольник с вершинами в этих точках имеет хотя бы один угол, не больший 30^o. Доказать.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78482  (#3)

Тема:   [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Какое наибольшее число клеток может пересечь прямая, проведённая на листе клетчатой бумаги размером m×n клеток?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78483  (#4)

Тема:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

a, b, c – такие три числа, что  abc > 0  и  a + b + c > 0.  Доказать, что  aⁿ + bⁿ + cⁿ > 0  при любом натуральном n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78484  (#5)

Тема:   [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 3 Классы: 10

Дан произвольный треугольник ABC. Найти множество всех таких точек M, что перпендикуляры к прямым AM, BM, CM, проведённые из точек A, B, C (соответственно), пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями