Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 37]

Задача 78528

Темы:	[	Вспомогательные равные треугольники	]
Темы:	[	Хорды и секущие (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 7,8

На отрезке AB выбрана произвольно точка C и на отрезках AB, AC и BC, как на диаметрах, построены окружности Ω₁, Ω₂ и Ω₃. Через точку C проводится произвольная прямая, пересекающая окружность Ω₁ в точках P и Q, а окружности Ω₂ и Ω₃ в точках R и S соответственно. Доказать, что PR = QS.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78515

Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Периодичность и непериодичность	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Последовательность a₀, a₁, a₂, ... образована по закону: a₀ = a₁ = 1, a_n+1 = a_na_n–1 + 1. Доказать, что число a₁₉₆₄ не делится на 4.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78516

Темы:	[	Произведения и факториалы	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Простые числа и их свойства	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Найти все такие натуральные числа n, что число (n – 1)! не делится на n².

Прислать комментарий

Решение

Задача 78519

Темы:	[	Признаки делимости на 3 и 9	]
Темы:	[	Десятичная система счисления	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Рассмотрим суммы цифр всех чисел от 1 до 1000000 включительно. У полученных чисел вновь рассмотрим сумму цифр и так далее, пока не получим миллион однозначных чисел. Каких чисел больше среди них – единиц или двоек?

Прислать комментарий

Решение

Задача 78520

Темы:	[	Системы показательных уравнений и неравенств	]
Темы:	[	Монотонность и ограниченность	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Решить в положительных числах систему:

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{rcl} x^y&=&z,\\ y^z&=&x,\\ z^x&=&y. \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{rcl} x^y&=&z,\\ y^z&=&x,\\ z^x&=&y. \end{array}$

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 37]